Примеры и методические указания к решению задач по электротехнике

Лекции
Физика

Контрольная

На главную
Электротехника

Пример 5. Расчёт разветвленной электрической цепи однофазного синусоидального тока

Разветвлённая цепь переменного тока, изображённая на рис. 5.1, имеет напряжение питания U = 100 В, начальную фазу напряжения ψu = 30° и частоту f= 50 Гц, в первой ветви активное сопротивление R1 = 3 Ом, индуктивное xL1 = 10 Ом, ёмкостное xС1 = 6 Ом, во второй ветви активное сопротивление R2 = 10 Ом, а в третьей индуктивное xL3 = 10 Ом.

Рисунок 2.2 – Схема разветвлённой цепи

 переменного тока

Требуется определить токи ветвей, показания всех приборов и составить баланс мощностей. Рассчитать параметры реактивного элемента, который надо включить в неразветвлённую часть цепи (последовательно с элементами R1, xL1, xC1 ), чтобы в цепи возник резонанс напряжений. Построить векторные диаграммы токов и напряжений.

Рисунок 5.1 – Схема разветвлённой цепи переменного тока

Решение. Задачу начинаем решать с преобразования реальных параметров цепи в их символьные изображения в комплексной форме. В примере задано действующее значение его напряжения, начальная фаза и частота что позволяет записать, мгновенное значение этого напряжения в виде

 В.

Угловая частота ω в записанном выражении напряжения определяется в зависимости от заданной частоты источника переменного тока

ω = 2πf = 2∙3,14∙50 = 314 1/с .

Изображение напряжения на входе цепи в комплексной форме записи

В.

Полное сопротивление первого участка в комплексной форме

Если перевести изображение этого сопротивления в показательную форму, то

Ом.

Полное сопротивление второй ветви

Полное сопротивление третьей ветви

Преобразованная цепь изображена на рис. 5.2.

В этой схеме исключены измерительные приборы, которые на расчёт токов и напряжений не влияют.

По аналогии с цепью постоянного тока осуществляем эквивалентные преобразования для цепи рис. 5.2.

Параллельно соединенные элементы Z2 и Z3 заменяем одним эквивалентным

 Ом. Ом.

После преобразования схема упрощается и состоит из двух элементов, включенных последовательно, как это показано на рис. 5.3.

 

Рисунок 5.2 – Эквивалент-

Рисунок 5.3 – Упрощён-

ная схема разветвлённой

ная схема цепи после

цепи переменного тока

преобразований

Ток в этой цепи можно определить следующим образом:

А.

Далее определяем падение напряжения на разветвленном участке:

В.

Токи в ветвях после разветвления:

А,

А.

Модули показательной формы выражений для токов есть действующие значения реальных токов ветвей, которые фиксируют приборами электромагнитной системы. Следовательно, амперметр в первой ветви покажет 8,3 А, а во второй ветви – 5,86 А.

Вольтметр, включенный параллельно катушке, покажет падение напряжения на ней. Так как падение напряжения на участке есть произведение тока участка на значение его сопротивления, то получаем:

,

Падение напряжения на катушке

В.

Показание вольтметра есть модуль выражения UV, т. е. UV = 83 В.

Ваттметр, включенный на входе цепи, показывает активную мощность, потребляемую всей схемой. Эта мощность будет действительной частью выражения комплекса полной мощности S на входе, которое имеет вид

 ВА.

Активная мощность Р = 551 Вт , реактивная мощность Q = 620 вар.

Для проверки результатов расчета необходимо составить баланс активных и реактивных мощностей. Эти балансы показывают, что активные и реактивные мощности источника должны быть равны сумме соответственно активных и реактивных мощностей всех потребителей.

Активная мощность источника определена, а активные мощности отдельных потребителей рассчитывают как произведение активного сопротивления участка на квадрат действующего значения тока этого участка. В рассматриваемой схеме только два активных потребителя R1 и R2. Суммарная мощность этих потребителей

  Вт.

Разница в мощностях получилась в 1 Вт, что составляет несколько десятых долей процента. Ошибка менее одного процента допускается. Она возникает из-за округления числовых данных при расчете.

Реактивную мощность потребителей определяют как произведение квадрата тока реактивного элемента на его сопротивление. Причем мощность катушки индуктивности положительна, а конденсатора отрицательна.

Суммарная реактивная мощность всех потребителей

.

Разница в реактивных мощностях также составляет одну единицу, ошибка меньше одного процента. Таким образом, баланс активных и реактивных мощностей соблюдается. Токи определены правильно.

Для возникновения в цепи резонанса напряжений необходимо, чтобы полное сопротивление всей цепи было активным. Полное сопротивление

Z= Z1 + Z23 = 3 + j4 + 5 + j5 = 8 + j9 Ом.

Из выражения для полного сопротивления видно, что эквивалентное реактивное сопротивление исходной цепи равно +9 Ом. Знак плюс указывает на индуктивный характер эквивалентной реактивности. Устранить эту реактивность можно включением в первую ветвь конденсатора с емкостным сопротивлением – 9 Ом (минус подчёркивает емкостной емкостный характер реактивности). После такого включения реактивные сопротивления взаимно компенсируются, а полное сопротивление становится активным и равно 8 Ом. В цепи наступает резонанс напряжений.

На рисунке 5.4 приведена векторная диаграмма, на которой относительно осей координат комплексной плоскости +j и +1 в масштабе построены векторы напряжений и токов. Вектор строится под углом к вещественной оси комплексной плоскости +1. Значение этого угла равно аргументу показательной формы комплексного выражения. При положительном значении аргумента угол откладывается от вещественной оси против часовой стрелки, а при отрицательном – по часовой.

Рисунок 5.4 – Векторная диаграмма

разветвлённой цепи переменного тока

Длина вектора должна в масштабе соответствовать модулю показательной формы комплексного выражения. Например, вектор входного напряжения () должен иметь длину в десять масштабных отрезков (U = 100 В, в масштабном отрезке – 10 В). Угол между этим вектором и вещественной осью равен 30 градусов градусам и откладывается против часовой стрелки. Аналогично строятся и другие векторы.

 

Полный поток, сцеплённый с первичной обмоткой, Ф1 = Ф + Фσ1. (5.1).

При наличии тока во вторичной обмотке поток взаимоиндукции Ф создаётся действием намагничивающих сил F1 и F2, где F1 = w1I1, a F2 = w2I2.

ЭДС Eσ1 пропорциональна магнитному потоку Фσ1, а ЭДС E σ2 – потоку Фσ2.

Ядерные реакторы

Сети