Примеры и методические указания к решению задач по электротехнике

Электротехника
Курсовая по ТОЭ
Примеры выполнения заданий
Курс лекций по ТОЭ и типовые задания
Линейные электрические цепи
Резонанс в электрических цепях
Несинусоидальные токи
Расчет переходных процессов
Теория нелинейных цепей
Переходные процессы в нелинейных цепях
Цепь постоянного тока
Решим задачу методом контурных токов
Методические указания для выполнения курсовой работы
Расчет нелинейной электрической цепи постоянного тока
Расчёт разветвленной электрической цепи однофазного синусоидального тока
Расчёт трёхфазной электрической цепи синусоидального тока
Выбираем схему соединения обмоток электродвигателя
По результатам вычислений строим векторные диаграммы
Определение токов несимметричной нагрузки.
Входные токи цепи определяем через линейные токи двигателя
Расчет переходных процессов
Найдем ток в индуктивности до коммутации
КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА
ЭЛЕМЕНТЫ КОНСТРУКЦИИ ТРАНСФОРМАТОРА
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЧИСЛА ВИТКОВ ОБМОТОК ТРАНСФОРМАТОРА
ПРОВЕРКА ТРАНСФОРМАТОРА НА НАГРЕВАНИЕ
ТОК ВКЛЮЧЕНИЯ ТРАНСФОРМАТОРА
Определение нагрузок в сети высокого напряжения
Определение потерь мощности
Выбор и проверка аппаратуры высокого напряжения

Решим задачу методом контурных токов. Выберем контуры и направления контурных токов в них так, как это сделано на рис. 7:

При таком выборе контуров ветвь с источником тока входит только в 3-й контур, а ток такой ветви равен соответствующему контурному току. Значит

I33 = J6, и неизвестных контурных токов только два: I11 и I22. Система уравнений для трех контурных токов в общем виде выглядит так:

 R11I11 + R12I22 + R13I33 = E11,

 R21I11 + R22I22 + R23I33 = E22,

 R31I11 + R32I22 + R33I33 = E33.

А с учетом того, что I33 = J6, третье уравнение является лишним, и окончательно система выглядит так:

  R11I11 + R12I22 = E11 – R13J6,

 R21I11 + R22I22 = E22 – R23J6,

где R11 - сумма сопротивлений, входящих в 1-й контур; R22 - сумма сопротивлений, входящих во 2-й контур; R12 = R21 – сумма сопротивлений, входящих одновременно в 1-й и 2-й контуры, взятая со знаком «-», так как 1-й и 2-й контурные токи направлены встречно в смежном сопротивлении (см. рис. 7); R13 - сумма сопротивлений, входящих одновременно в 1-й и 3-й контуры, взятая со знаком «-»; R23 - сумма сопротивлений, входящих одновременно во 2-й и 3-й контуры, взятая со знаком «-»; E11 – суммарная ЭДС 1-го контура; E22 – суммарная ЭДС 2-го контура.

Определим численные значения величин:

R11 = R1 + R3 + R5 = 10 + 6 + 15 = 31 Ом,

R22 = R2 + R4 + R3 = 12 + 8 + 6 =26 Ом,

R12 = R21 = -R3 =-6 Ом,

R13 = -R1 = -10 Ом,

R23 = -R2 = -12 Ом,

E11 = E5 = 15 В,

E22 = -E2 = -30 В,

E11 – R13J6 = 15 –(-10)∙2 = 35 В,

E22 – R23J6 = -30-(-12)∙2 = -6 В.

Подставим в систему:

 31I11 - 6I22 = 35,

 -6I11 + 26I22 = -6.

Решим систему методом Крамера:

I11 = , I22 = ,

где  = 31∙26 - 6∙6 = 770,

 = 35∙26-6∙6 = 874,

 = -31∙6+6∙35 = 24,

I11 = 874/770 = 1,14 A, I22 = 24/770 = 0,0312 A, I33 = 2 А.

Зная контурные токи, найдем токи ветвей, руководствуясь правилом: ток ветви равен алгебраической сумме контурных токов, по ней протекающих.

Поэтому:

I1 = I11 – I33 = 1.14 – 2 = - 0,86 A,

I2 = -I22 + I33 = -0.0312 + 2 = 1,97 A,

I3 = -I11 + I22 = -1.14 + 0.0312 = - 1,11 A,

I4 = I22 = ,.0312 A,

I5 = I11 =1,14 A.

Замечание: Знак минус для токов I3 и I4 свидетельствует, естественно, о том, что истинное направление протекания этих токов в ветвях противоположно выбранному ранее.

Решим задачу методом узловых потенциалов. В схеме – четыре узла. Потенциал одного из них принимаем равным нулю, или «заземляем». Пусть это будет узел , j4 = 0 (см. рис. 6). Остается три неизвестных потенциала: j1, j2, j3. В общем виде система уравнений будет выглядеть так:

 G11j1 + G12j2 + G13j3 = I11,

 G21j1 + G22j2 + G23j3 = I22,

 G31j1 + G32j2 + G33j3 = I33,

где G11 – сумма проводимостей ветвей, сходящихся к узлу ; G22 – сумма проводимостей ветвей, сходящихся к узлу ; G33 – сумма проводимостей ветвей, сходящихся к узлу ƒ; G12 = G21 – сумма проводимостей ветвей, включенных непосредственно между узлами  и , взятая со знаком «-»; G13 = G31 – сумма проводимостей ветвей, включенных непосредственно между узлами  и ƒ, взятая со знаком «-»; G23 = G32 – сумма проводимостей ветвей, включенных непосредственно между узлами и ƒ, взятая со знаком «-»; I11, I22, I33 – эквивалентные токи соответствующих узлов, равные алгебраическим суммам токов короткого замыкания ветвей, сходящихся к этим узлам.

Определим численные значения величин:

G11 = 1/R1 + 1/R5 = 1/10 + 1/15 = 0,167 См,

G22 = 1/R1 + 1/R2 + 1/R3 = 0,35 См,

G33 = 1/R2 + 1/R4 = 0,208 См,

G12 = G21 = -1/R1 = - 0,1 См,

G13 = G31 = 0 (ветвь с источником тока имеет нулевую проводимость),

G23 = G32 = -1/R2 = - 0,0833 См,

I11 = E5/R5 –J6 = 15/15 – 2 = -1 А,

I22 = E2/R2 = 30/12 = 2,5 А,

I33 = -E2/R2 + J6 = -30/12 + 2 = - 0,5 А.

Подставим в систему:

 0,167j1 - 0,1j2  + 0j3 = - 1,

 - 0,1j1  + 0,35j2 – 0,0833j3 = 2,5 ,

 0j1 – 0,0833j2 + 0,208j3 = - 0,5.

Решим систему методом Крамера:

j1 = j2 = j3 = ,

0,167∙0,35∙0,208 – 0,167∙0,0833∙0,0833 –

-0,1∙0,1∙0,208 = 0,00892

 
где   = 

-1∙0,35∙0,208 + 1∙0,0833∙0,0833 + 2,5∙0,1∙0,208 –

-0,5∙0,1∙0,0833  = -0,018

 
  =

0,167∙2,5∙0,208 – 0,167∙0,5∙0,0833 –0,1∙1∙0,208 = =0,0591

 
  =

-0,167∙0,35∙0,5 + 0,167∙0,0833∙2,5 + 0,1∙0,1∙0,5 –

-0,1∙0,0833∙1 = 0,00222

 
  =

j1 = -0,018/0,00892 = -2,02  В,

j2 = 0,0591/0,00892 = 6,63 В,

j3 = 0,00222/0,00892 = 0,249 В,

j4 = 0 В.

Зная потенциалы узлов схемы, определим токи ветвей по закону Ома для участка цепи:

 I1 = (j1 - j2)/R1 = (-2,02 – 6,63)/10 = - 0,865 А,

 I2 = (j3 - j2 + E2)/R2 = (0,249 – 6,63 + 30)/12 = 1,97 А,

 I3 = (j4 - j2)/R3 = (0 – 6,63)/6 = - 1,11 А,

 I4 = (j3 - j4)/R4 = (0,249 – 0)/8 = 0,0311 А,

  I5 = (j4 - j1 + E5)/R5 = (0 + 2,02 + 15)/15 = 1,13 А.

Сравним результаты расчета двумя методами, сведя их в таблицу:

Таблица 3.1

Токи

I1

I2

I3

I4

I5

МКТ

-0,86

1,97

-1,11

0,0312

1,14

МУП

-0,865

1,97

-1,11

0, 0311

1,13

 3.1.5. Определим мощность на каждом элементе. Мощность на сопротивлениях определяется по формуле  PR = I2R; мощность источника ЭДС PE = EI, где I – ток, протекающий через источник ЭДС; мощность источника тока

PJ = UJJ, где UJ – напряжение на источнике тока. Последняя величина не была до сих пор рассчитана. Найдем ее из уравнения 2-го закона Кирхгофа для 3-го контура (рис. 4):

 R6J6 – UJ + R2I2 – R1I1 = E2.

Откуда UJ = R6J6 + R2I2 – R1I1 – E2 = 4∙2 + 12∙1,97 – 10(-0.865) – 30 = 10,3 В

Считаем мощности:

 PR1 = R1I12 = 10∙0,8652 = 7,48 Вт, PR2 = R2I22 = 12∙1,972 = 46,6 Вт,

 PR3 = R3I32 = 6∙1,112 = 7,39 Вт, PR4 = R4I42 = 8∙0,03112 = 0,00774 Вт,

 PR5 = R5I52 = 15∙1,132 = 19,2 Вт, PR6 = R6J62 = 4∙22 = 16 Вт,

 PE2 = E2I2 = 30∙1,97 = 59,1 Вт, PE5 = E5I5 = 15∙1,13 = 17 Вт,

 PJ6 = UJ∙J6 = 10,3∙2 = 20,6 Вт.

Суммарная мощность источников:

 PИСТ = PE2 + PE5 + PJ6 = 59,1 + 17 + 20,6 = 96,7 Вт

Суммарная мощность приемников:

 PПР = PR1 + PR2 + PR3 + PR4 + PR5 + PR6 =

= 7,48 + 46,6 + 7,39 + 0,00774 + 19,2 + 16 = 96,7 Вт

Баланс мощностей источников и приемников выполняется.

  3.1.6. Определим ток 1-й ветви методом эквивалентного генератора. Отключаем временно 1-ую ветвь, получим схему, изображенную на рис. 8.

Заменим эту цепь относительно точек  и эквивалентным генератором. Для этого необходимо определить напряжение между этими точками (U12 хх) и входное сопротивление также относительно этих точек (Rвх 12).

 Напряжение U12 хх можно найти из уравнения 2-го закона Кирхгофа:

 U12 хх + R3I2 + R5J6 = E5,

 U12 хх = E5 - R3I2 - R5J6,

а ток I2 из системы уравнений по 1-му и 2-му законам Кирхгофа:

 I2 + I4 = J6,

 (R2 + R3)I2 – R4I4 = E2.

Решим систему подстановкой I4 = J6 – I2:

 (R2 + R3)I2 – R4J6 + R4I2 = E2,

 I2 = (E2 + R4J6)/(R2 + R3 + R4) = (30 + 8∙2)/(12 + 6 + 8) = 1,77 A,

U12 хх = 15 – 6∙1,77 – 15∙2 = -25,6 В.

Чтобы найти входное сопротивление, учтем, что источники ЭДС имеют нулевое сопротивление, а источники тока – бесконечное. Тогда рассмотрим схему на рис. 9.

Структура этой цепи относительно точек  и следующая: сопротивления R2 и R4 соединены последовательно, к ним параллельно сопротивление R3 и затем последовательно R5. Следовательно, входное сопротивление определится по формуле:

Rвх 12 = R5 + R3(R2 + R4)/(R2 + R3 + R4) =

  = 15 +6∙(12 + 8)/(12 + 6 + 8) = 19,6 Ом

Схема эквивалентного генератора с подключенной на свое место 1-й ветвью изображена на рис. 10

Остается найти ток I1:

 I1 = U12 хх/( Rвх 12 + R1) = -25,6/(19,6 + 10) = -0,865 А.

3.2. Магнитная цепь

Рассмотрим пример выполнения задачи 2 для магнитной цепи, изображенной на рис. 3, при следующих исходных данных:

a = 6 мм; b = 6 мм; c = 10 мм; h = 68 мм; d = 0,26 мм; x = 1 мм

I1 = 0,11 А; w1 = 2000; I2 = 0,1 A; w2 = 1800; I3 = 0,09 A; w3 = 1500.

Направления токов и намотки катушек таковы, что все три создаваемые ими МДС направлены от узла f к узлу l.

Здесь мы имеем дело с разветвленной магнитной цепью, состоящей из трех ветвей. В каждую ветвь входят участки из ферромагнитного материала (стали) и воздушные зазоры. Кроме того обмотки с током на каждом стержне создают магнитодвижущую силу (МДС). На рисунке пунктиром обозначена средняя магнитная силовая линия. Будем считать первой ветвью часть магнитной цепи, проходящей по левому стержню от узла f до узла l, второй ветвью – по среднему, третьей – по правому.

Следуя данным о геометрии стального сердечника и воздушных зазоров, найдем длины каждого участка ферромагнитных частей каждого участка:

,

,

,

а также их поперечные сечения:

 ,

,

и поперечные сечения воздушных зазоров:

 ,

,

Рассчитаем МДС обмоток:

Найдем магнитные сопротивления воздушных зазоров:

  Далее задачу будем решать за две итерации. На первом этапе учитываем только магнитные сопротивления воздушных зазоров, пренебрегая магнитным сопротивлением ферромагнитных участков цепи. Эквивалентная расчетная электрическая схема изображена на рис. 11. Направления МДС в соответствии с заданием – от узла f к узлу l.

  Рис. 11

 Применим метод двух узлов:

;

;

;

.

  Для выполнения второй итерации определим величину магнитной индукции в ферромагнитных участках магнитной цепи, соответствующую найденным значениям магнитного потока:

  ;

 ;

 .

 По значениям индукции определяем соответствующие величины напряженности магнитного поля, пользуясь кривой намагничивания заданной стали, которая в соответствии с табл. 3.2 построена на рис. 12.

Рис. 12

 Когда индукция небольшая, целесообразно построить кривую только при малых значениях напряженностей (рис. 13)

Рис. 13

 По графику определяем:

H1 = H(B1) = 17,4 А/м; H2 = H(B2) = 2,57 А/м; H3 = H(B3) = 18,7 А/м.

Магнитные напряжения на ферромагнитных участках:

  - магнитные сопротивления ферромагнитных участков:

Эквивалентная расчетная электрическая схема изображена на рис. 14.

  Рис. 14

По методу двух узлов:

;

;

;

.

  На этом расчет считаем законченным, так как значения потоков незначительно отличаются от первой итерации.

Графический метод расчета неразветвлённой цепи с нелинейными элементами.

Расчёт нелинейной цепи при параллельном соединении элементов Необходимо определить, какие токи проходят в параллельных ветвях, содержащих нелинейные элементы r1 и r2 (рисунок 3.6, а), если ток Iвх = 0,92 А. ?

Аналогично предыдущему пункту рассмотрим расчет нелинейной цепи постоянного тока со смешанным соединением элементов на конкретном примере.

Курсовая по ТОЭ Примеры выполнения заданий