Примеры и методические указания к решению задач по электротехнике

Лекции
Физика

Контрольная

На главную
Электротехника
เกมไพ poker

КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ ДЛЯ РАСЧЕТА ЦЕПЕЙ СИНУСОИДАЛЬНОГО ТОКА

П2.1. Определение и формы представления комплексных чисел

Число j, удовлетворяющее условию:

,  (П1)

называется мнимой единицей (этому условию, разумеется, не удовлетворяют действительные числа, поскольку их квадрат не может быть отрицательным числом).

Число вида , (П2)

где а1 и а2 – вещественные числа, называется комплексным числом; при

этом а1 и а2 называются соответственно вещественной и мнимой частями комплексного числа А.

Геометрическим местом комплексных чисел является комплексная плоскость, в которой ось абсцисс называется вещественной осью, а ось ординат – мнимой осью. В комплексной плоскости комплексное число может быть представлено в виде точки А (рис.П1) с координатами а1 и а2 и записано в форме (П2), которая называется алгебраической формой записи комплексного числа. Комплексное число также может быть представлено в комплексной плоскости в виде радиуса-вектора точки А (рис.П2) и записано в показательной форме:

,  (П3)

где А – модуль комплексного числа А, равный длине радиуса-вектора;

α − аргумент комплексного числа А, равный углу, который образует вектор А с положительным направлением вещественной оси.

Рис.П1

 

Рис. П2

 

Из сопоставления рисунков П1 и П2 видно, что можно выразить координаты комплексного числа через его модуль и аргумент, получив третью форму записи комплексного числа – тригонометрическую:

 

где   и.

П2.2. Арифметические операции над комплексными числами

Сложение и вычитание удобнее выполнять над комплексными числами, представленными в алгебраической форме:

,  (П6)

т.е. при сложении (вычитании) комплексных чисел складываются (вычитаются) их вещественные и мнимые части.

Умножение и деление удобнее выполнять над комплексными числами, представленными в показательной или тригонометрической форме. В этом случае справедливо правило: при умножении (делении) комплексных чисел их модули перемножаются (делятся), а аргументы складываются (вычитаются). Если

AA,

B=

R

 

R

 
то

AB= (П7)

=.  (П8)

П2.3. Преобразование формы записи комплексных чисел

При вычислениях возникает необходимость перевода комплексного числа из одной формы записи в другую.

Преобразование комплексного числа из показательной формы в алгебраическую выполняется по формулам:

  (П9)

где А и α – соответственно модуль и аргумент в показательной форме записи комплексного числа;

 а1 и а2 – координаты комплексного числа в алгебраической форме.

При переводе комплексного числа из алгебраической формы в показательную модуль А комплекса, расположенного в любом квадранте комплексной плоскости, вычисляется по формуле:

А  , (П10)

а при определении аргумента α возможны случаи:

1) если , т.е. комплексное число расположено в правой полуплоскости (I и IV квадранты), то

  (П11)

и знак аргумента определяется знаком мнимой части а2 , т.е. в первом квадранте – положительный, а в четвертом квадранте − отрицательный.

2) если , но  (II квадрант), то

  . (П12)

3) если  и  (III квадрант), то

  . (П13)

Если задано мгновенное значение тока в виде , то комплексное действующее значение записывают сначала в показательной форме, а затем (при необходимости) по формуле Эйлера переходят к алгебраической форме:

,

где   − действующее значение синусоидального тока;

  – комплекс действующего значения тока;

   – вещественная часть комплекса тока;

   − мнимая часть комплекса тока.

Если же известен комплекс действующего значения тока   то мгновенное значение тока .

Основные законы электрических цепей.

Электрической цепью называют совокупность соединённых друг с другом источников электрической энергии и нагрузок, по которым может протекать электрический ток.

На рисунке 1.1, б дан пример параллельного соединения потребителей. При этом на всех элементах, включённых параллельно, действует одно напряжение, а токи в этих элементах обратно пропорциональны их сопротивлениям.

Ядерные реакторы

Сети