Примеры и методические указания к решению задач по электротехнике

Лекции
Физика

Контрольная

На главную
Электротехника

Цепь постоянного тока

Рассмотрим пример выполнения задачи 1 для схемы, изображенной на

рис. 4, при следующих значениях параметров цепи:

R1 = 10 Ом, R2 = 12 Ом, R3 = 6 Ом, R4 = 8 Ом, R5 = 15 Ом, R6 = 4 Ом.

E2 = 30 В, E5 = 15 В, J6 = 2 А.

Результаты вычислений будем брать с тремя значащими цифрами.

3.1.1. Чертим схему, соблюдая требования ЕСКД: сопротивления в виде прямоугольников размером 10 х 4 мм, а источники ЭДС и источники тока – окружностей, диаметром 10 мм. В цепи четыре узла (отмечены цифрами , , ƒ, ) и пять ветвей с неизвестными токами.

 3.1.2. Для того, чтобы составить необходимое число уравнений, пронумеруем и выберем вначале произвольно направления токов в ветвях, как это сделано на рис. 4. При этом ток в ветви, содержащей источник тока, нет необходимости выбирать произвольно, так как он просто равен заданному значению источника, в данном случае J6.

  Таким образом, имеем пять неизвестных токов и, следовательно, необходимо составить систему из пяти уравнений для того, чтобы найти эти токи.

 Из общей теории известно, что по 1-му закону Кирхгофа составляют уравнения для каждого узла схемы, кроме одного. Для нашей схемы можно взять узлы , , и ƒ. Принимая втекающие в узел токи положительными, а оттекающие отрицательными, получим следующие уравнения:

-I1 + I5 - J6 = 0,

 I1 + I2 + I3 = 0,

-I2 - I4 + J6 = 0.

Остальные два уравнения следует составить по 2-му закону Кирхгофа, выбрав для этого соответственно два независимых контура. Целесообразно при этом выбирать контуры, не содержащие ветвей с источником тока, иначе появится еще одна неизвестная величина – напряжение на этом источнике. Пусть первый контур состоит из 1-й, 3-й и 5-й ветвей, а второй – из 2-й, 4-й и 3-й. Тогда при обходе этих контуров по часовой стрелке получим следующие уравнения 2-го закона Кирхгофа:

  R1I1 – R3I3 + R5I5 = E5,

 -R2I2 + R4I4 + R3I3 =-E2.

Окончательно, оставляя неизвестные слева, а известные величины справа, получаем систему уравнений:

-I1 + I5 = J6,

 I1 + I2 + I3 = 0,

-I2 - I4 =-J6.

 R1I1 – R3I3 + R5I5 = E5,

 -R2I2 + R4I4 + R3I3 =-E2.

В матричной форме:

  3.1.3. Граф схемы – это направленный граф, ребра которого соответствуют ветвям с неизвестным током, а вершины – узлам цепи.

 

  Рис. 5

Соответствующий схеме граф изображен на рис. 5. Здесь сохранена выбранная ранее нумерация узлов и ветвей, а также направления токов. Наличие в цепи источника тока отмечено на данном рисунке стрелками, означающими, что от узла 1 оттекает, а к узлу 2 подтекает ток J6.

 Узловая матрица (обозначим ее буквой [A]) формируется следующим образом: количество столбцов соответствует количеству ветвей, а количество строк – на единицу меньше количества узлов; элемент матрицы aij равен «1», если j-я ветвь выходит из i-го узла, «-1», если j-я ветвь входит в i-й узел, и нулю в остальных случаях. Таким образом, узловая матрица нашей схемы имеет вид:

  Для формирования матрицы контуров необходимо построить дерево графа. Это такая часть заданного графа, в котором все вершины связаны, но нет ни одной замкнутой последовательности ветвей. Возьмем такое дерево, состоящее из ветвей 1, 2 и 3. Тогда ветви, не вошедшие в дерево и называемые ветвями связи (4-я и 5-я), образуют каждая один единственный независимый контур (рис. 6).

а) дерево графа

 

б) контур I в) контур II

  Рис. 6

Матрицу контуров обозначим буквой [K]. В ней количество столбцов соответствует количеству ветвей, а количество строк – числу независимых контуров. Элемент матрицы kij равен «1», если j-я ветвь принадлежит i-му контуру и ее направление совпадает с направлением ветви связи при обходе контура, «-1», если эти направления противоположны, и нулю, если j-я ветвь не принадлежит i-му контуру. Таким образом, узловая матрица нашей схемы имеет вид:

  Для формирования уравнений по законам Кирхгофа необходимо задать параметры элементов цепи в форме диагональной матрицы сопротивлений [R], вектора ЭДС ветвей [E] и вектора токов источников тока в узлах [J]. При этом ЭДС берутся со знаком «+», если их направление совпадает с током соответствующей ветви, и со знаком «-» в противном случае; ток источника тока берется со знаком «+», если он втекает в узел, и со знаком «-», если он вытекает из узла. С учетом этого для нашего случая матрицы примут вид:

   

Тогда уравнения по первому закону Кирхгофа запишутся так:

[A][I] = [J],

,

а по второму закону Кирхгофа так:

[K][R][I] = [K][E],

  Ниже приведен лист MathCad, где реализовано решение задачи с помощью матричного метода:

Расчёт трёхфазной цепи при соединении потребителей треугольником.

Для определения линейных токов используем первый закон Кирхгофа для точек a, в, c схемы на рисунке 2.10

Нелинейные электрические цепи постоянного тока.

Ядерные реакторы

Сети