Взаимное расположение прямой и плоскости Контрольная работа по инженерной графике Пересечение поверхностей вращения Способы проецирования Построение по двум изображениям детали третьего Последовательность выполнения чертежей деталей

Начертательная геометрия и инженерная графика Задачи контрольной работы

Способы преобразования комплексного чертежа

Поверхность можно представить как общую часть нескольких смежных областей пространства. Рассмотрим определение проекции точек, расположенных на различных поверхностях. Точки на поверхностях многогранников

ПОСТРОЕНИЕ ЛИНИИ ВЗАИМНОГО ПЕРЕСЕЧЕНИЯ КРИВЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ Для построения линии взаимного пересечения двух кривых поверхностей пользуются методом вспомогательных секущих плоскостей. В качестве этих поверхностей используются не только плоскости, но в некоторых случаях сферы и другие поверхности.

ПОСТРОЕНИЕ ТОЧЕК ПЕРЕСЕЧЕНИЯ ПРЯМОЙ С ПОВЕРХНОСТЬЮ

Общие положения

1. Число точек пересечения соответствует порядку заданной поверхности Ф.

2. В основу построения положен способ вспомогательных поверхностей

3. В качестве вспомогательных поверхностей обычно выбирают плоскости S, проходящие через заданную прямую n.

4. Плоскость S должна пересекать Ф по линии d, проекции которой были бы графически простыми (дуга окружности или прямая).

5. Видимость проекций прямой n по видимости проекций поверхности.

Рис. 62 - Пересечение прямой с поверхностью

Алгоритм построения: - S É n;

- S Ç F = d;

- 1, 2 = d Ç n. 

6.2. Построение точек пересечения прямой с
поверхностью многогранника

 Поверхность многогранника представляет собой совокупность пересекающихся плоскостей. Поэтому решение данной задачи, по существу, является двукратным определением точки пересечения прямой линии с плоскостью (см. раздел 3.2, рис.35).

Схема решения выглядит так:

- плоскость S, проходящая через прямую n, пересечет многогранник по плоской замкнутой ломаной линии 1-2-3-1;

- искомые точки M и N есть результат пересечения линии 1-2-3-1 с прямой n.

Алгоритм решения задачи:

S É n, S - проецирующая плоскость.

S Ç F = ( 1-2-3-1).

3. М =(1-2-3-1) Ç n = F Ç n,

N = ( 1-2-3-1) Ç n = F Ç n.

Рис.63 - Определение точек пересечения прямой с поверхностью многогранника (пространственный пример)

 Рассмотрим пример: Определить точки М и N пересечения прямой общего положения n с поверхностью Ф пирамиды SABC.

 Построение:

Через прямую n проводим горизонтально проецирующую плоскость S.

Определяем горизонтальную проекцию ломаной: S1 Ç Ф1 = (11 – 21 – 31- 11).

Определяем фронтальные проекции вершин ломаной: 12 Ì А2 В2, 22 Ì S2B2, 32 Ì B2C2.

Строим фронтальную проекцию ломаной: 12 – 22 – 32- 12.

Определяем фронтальные проекции искомых точек: (12 – 22 – 32- 12) Ç n2 = М2 Ù N2.

Определяем горизонтальные проекции точек: М1 Ì n1 Ù N1 Ì n1.

Определяем видимость проекций прямой n по dидимости проекций граней пирамиды.

Рис.64 - Определение точек пересечения прямой n с поверхностью пирамиды

6.3. Построение точек пересечения прямой
с поверхностью цилиндра

 На рис. 65 и 66 построены точки пересечения поверхности эллиптического цилиндра a с прямой линией m.

 Через прямую m проведена плоскость w , пересекающая цилиндрическую поверхность по образующим. Для этого, как известно, плоскость должна быть параллельна образующим (или оси) цилиндра. На рисунках она определена прямой m и прямой а, проходящей через некоторую точку А прямой m и параллельно оси цилиндра:

Рис. 65 - Пространственная модель

w = ( m Ç a = А ).

 Другие плоскости, в частности проецирующие, проходящие через прямую m, дадут в сечении цилиндра более сложные кривые линии.

 Для построения линии пересечения плоскости w и цилиндрической поверхности, т.е. двух образующих цилиндра, должна быть проведена вспомогательная секущая плоскость. В качестве нее выбрана плоскость s основания цилиндра, что позволяет не строить линию пересечения этой плоскости с цилиндрической поверхностью, так как она уже начерчена – это кривая линия основания k.

 Плоскость s пересекается с плоскостью w по прямой 1 – 2. На рис. 66 эта линия очевидна, так как плоскость

s - проецирующая. В случае, если прямая m пересекается с плоскостью s за пределами чертежа, точку (1) находят с помощью какой-либо дополнительной прямой, например (b), взятой в плоскости w, (рис. 65). Точки L1 и L2 пересечения линий k и (1 – 2) принадлежат образующим l1 и l2 сечения цилиндра плоскостью w:

w Ç a = (l1 , l2).

Рис. 66 - Комплексный чертеж

 Точки М1 и М2 пересечения этих образующих с прямой m являются искомыми:

М1 = l1 Ç m, М2 = l2 Ç m.

 Отрезок М1 - М2 прямой линии m находится внутри цилиндра и изображен поэтому линией невидимого контура. На рис. 65 слева от точки М1 прямая m видна, так как эта точка лежит на видимой стороне поверхности цилиндра. Часть линии m справа от точки М2 остается невидимой, так как точка М2 лежит на невидимой стороне поверхности a . Аналогично решается вопрос видимости на каждой проекции, рис. 66. Для уточнения видимости плохо различимого участка прямой m элемент I этого чертежа показан в более крупном масштабе.

6.4. Построение точек пересечения прямой с поверхностью конуса

Рис. 67 - Пространственная модель

Схема решения задачи:

Плоскость S, проходящая через прямую n, пересечет конус по линии d.

Искомые точки M и N – результат пересечения линии d с прямой n.

 Алгоритм решения:

S É n

S Ç F = d

М Ù N = d Ç n

 Если заключение прямой в проецирующую плоскость не приводит к простому решению, то используют плоскость общего положения, проходящую через прямую и вершину конуса, и пересекающую поверхность конуса по образующим.

 Рассмотрим пример. Определить точки М и N пересечения прямой общего положения n с поверхностью F конуса вращения, (рис. 68).

Построение:

Через прямую n и вершину S конуса F проводим плоскость общего положения S: S( n Ç m); m Ì S.

S Ç Г = (2 – 3), (плоскость основания F).

(2 – 3) Ç р = (4, 5).

S Ç Ф = (4 – S – 5).

(4 – S – 5) Ç n = М, N.

Определяем видимость прямой n по видимости проекций поверхности конуса.

Рис. 68 - Определение точки пересечения прямой с поверхностью конуса

6.5. Построение точек пересечения прямой со сферой

Рис. 69 - Пространственная модель

Схема решения задачи:

Построение осуществляют по алгоритму 1-ой позиционной задачи.

Плоскость S, проходящая через прямую n , пересечет сферу по окружности d.

 Искомые точки М и N – результат пересечения окружности d с прямой n.

 

  Если заключение прямой в проецирующую плоскость не приводит к простому решению, то применяют один из способов преобразования чертежа, чтобы проекции линии пересечения сферы с введенной плоскостью были бы графически простыми (дуга окружности или прямая).

Рис. 70 - Комплексный чертеж

 Рассмотрим пример: Определить точки М и N пересечения фронтали f(AB) со сферой Ф, (рис. 70).

Анализ решения:

 - окружность d(R) сечения сферы Ф плоскостью S ççП2 , проходящей через f, спроецируется на П2 без искажения.

 Построение: 

Через прямую f проводим фронтальную плоскость уровня S: S ççП2 .

Определяем фронтальную проекцию окружности: S Ç f = d(R) .

Определяем фронтальные проекции искомых точек: М2 Ù N2 = d2 Ç f2(А2 В2).

Определяем горизонтальные проекции точек: М1 Ù N1 Ì f1(А1 В1).

Определяем видимость проекций фронтали f(AB) по видимости проекций сферы Ф.

 Решим задачу: Определить точки М и N пересечения прямой общего положения d(AB) со сферой Ф, (рис. 71).

 Построение:

1. Способом замены плоскостей проекций преобразуем прямую a в линию уровня:

- на П4 линия сечения сферы плоскостью(а Ì S ççП4 ) спроецируется в окружность;

- в системе плоскостей П1/ П4 эта задача эквивалентна предыдущему примеру, рис.70.

2. Находим проекции точек:

d4 Ç а4= М4, N4.

3. Обратным преобразованием определяем проекции точек М1 и N1, а затем – М2 и N2.

Рис. 71. Комплексный чертеж

ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПОДГОТОВКИ:

В чем заключается способ нахождения точек пересечения многогранной поверхности с прямой линией?

 В чем заключается способ нахождения точек пересечения кривой поверхности с прямой линией?

В чем заключается общий прием построения точек пересечения прямой с поверхностью?

В каком случае при решении задач на построение точек пересечения прямой с поверхностью не используются проецирующие плоскости?

Как определить видимость проекций прямой?

При выполнении чертежей деталей встречаются случаи деления окружности на равные части, которые можно выполнить с помощью треугольников и циркуля. Эти приемы необходимо использовать при выполнении этого задания. При выполнении чертежей деталей часто встречаются плавные переходы от одной линии к другой, называемые сопряжениями.
Начартательная геометрия и инженерная графика Методические указания к выполнению эскизов и рабочих чертежей деталей