Взаимное расположение прямой и плоскости Контрольная работа по инженерной графике Пересечение поверхностей вращения Способы проецирования Построение по двум изображениям детали третьего Последовательность выполнения чертежей деталей

Начертательная геометрия и инженерная графика Задачи контрольной работы

Пересечение поверхности многогранника плоскостью Плоская фигура, получаемая в результате пересечения какой-либо поверхности плоскостью, называется сечением.

Вращение вокруг проецирующих прямых Этот метод, как и метод вращения вокруг линии уровня, предполагает неизменность системы плоскостей проекций, в которой вокруг проецирующей оси вращается геометрический объект – точка, прямая или плоская фигура. При этом все точки, принадлежащие геометрическому объекту, вращаются в параллельных плоскостях, расположенных перпендикулярно оси вращения.

Поверхность – абстрактная фигура, не имеющая толщины. Она ограничивает какое-либо тело, состоящее из металла, пластмассы и т.д. Тело конечно, а поверхность может быть бесконечна. Например, шар ограничен сферой; боковой поверхностью конуса является коническая поверхность.

Многогранники. Точка и прямая на поверхности Гранные поверхности имеют прямую образующую и ломаную линию в качестве направляющей.

Пересечение поверхности вращения плоскостью Форма сечения поверхности вращения плоскостью зависит от угла наклона секущей плоскости к оси вращения поверхности.

Пересечение поверхностей Пересечение многогранников Многогранники пересекаются по замкнутым пространственным ломаным линиям, которые могут быть найдены следующим образом:

Лекция 11

Пересечение поверхностей вращения

Линией пересечения поверхностей является плоская или пространственная кривая, состоящая из:

одного замкнутого контура, если одно геометрическое тело частично врезается в поверхность другого;

распадается на несколько линий, если поверхность одного тела полностью пронизывает поверхность другого.

Рассмотрим особые случаи пересечения поверхностей вращения.

Цилиндрические, конические поверхности и однополосный гиперболоид вращения относятся к линейчатым поверхностям вращения второго порядка. Сфера, эллипсоид вращения, параболоид вращения и двухполосный гиперболоид вращения – нелинейчатые поверхностям второго порядка.

Поверхность второго порядка – множество точек пространства, декартовые координаты которых соответствуют алгебраическому уравнению второй степени.

.

Из аналитической геометрии известно, что порядок линии пересечения поверхностей равен произведению порядков поверхностей. Поэтому в общем случае две поверхности второго порядка (квадрики) пересекаются по пространственной линии четвертого порядка (биквадратной кривой), которая иногда распадается на несколько линий.

В некоторых частных случаях линия пересечения распадается на две плоские кривые второго порядка. Условия, при которых это возможно, определены в следующих теоремах. Зная их, можно быстрее и точнее построить линию пересечения поверхностей.


Рис. 6.19

Теорема 1:

Если две квадрики пересекаются по одной плоской кривой, то существует и другая плоская кривая, по которой они пересекаются.

Например, линия пересечения сферы и эллиптического цилиндра с круговым основанием распадается на две коники – окружности (q, q¢).


Теорема 2:

Если две квадрики имеют касание в двух точках, то линия их пересечения распадается на две коники, плоскости которых проходят через отрезок прямой, соединяющей эти точки.


Рис. 6.20

Поверхности прямого кругового цилиндра и эллиптического цилиндра с круговым основанием имеют две общие точки касания (А, В). Следовательно, по Т2 они пересекаются по двум коникам – окружности (q) и эллипсу (q¢), плоскости которых пересекаются по прямой АВ.


Теорема 3:

Две соосные поверхности вращения пересекаются по окружностям-параллелям, число которых равно числу точек пересечения главных полумеридианов поверхностей.


Рис. 6.21

Соосными называются поверхности, имеющие общую ось вращения.

Так как плоскость сечения перпендикулярна оси вращения i, линия сечения (окружность) проецируется:

в окружность на плоскость, перпендикулярную оси i;

в отрезок прямой – на плоскость, параллельную оси i;

в эллипс – на любую другую плоскость.


Эти особенности соосных поверхностей вращения позволяют использовать их, в частности сферу, в качестве посредников при построении линии пересечения поверхностей вращения. Любая поверхность вращения, ось которой проходит через центр сферы, соосна с ней и, следовательно, пересекает ее по окружности.

Теорема 4 (Теорема Монжа):

Если две поверхности второго порядка (квадрики) описаны вокруг третьей квадрики, то они пересекаются по двум плоским кривым второго порядка (коникам).


Рис. 6.22

В соответствии с этой теоремой, линии пересечения поверхностей, описанных около сферы, будут плоскими кривыми – эллипсами.


Построение линии пересечения поверхностей вращения в общем случае ведется с помощью дополнительных секущих поверхностей, в качестве которых могут быть использованы плоскости или сферы.

Секущие поверхности выбираются таким образом, чтобы с заданными поверхностями они пересекались по линиям, легко определяемым на КЧ.

Чтобы построить линию пересечения поверхностей на КЧ, необходимо:

Ввести ряд вспомогательных плоскостей или сфер, пересекающих обе заданные поверхности.

Построить линию пересечения каждой заданной поверхности со вспомогательной.

В месте пересечения построенных таким образом линий определить точки искомой линии взаимного пересечения.

Соединить полученные точки пересечения между собой с учетом видимости линии сечения.

Способ нахождения линии пересечения с помощью дополнительных плоскостей называется способом секущих плоскостей, а нахождение линии сечения с помощью дополнительных сфер – способом секущих сфер.

Каким бы способом не производилось нахождение линии пересечения, ее построение начинается с определения характерных точек сечения, а затем определяются промежуточные точки, необходимые для точности построения линии пересечения.

К характерным точкам линии пересечения относятся:

точки, проекции которых лежат на проекциях контурных образующих (очерках) заданных поверхностей;

«крайние» точки – правые и левые, наивысшие и наинизшие, ближайшие и наиболее удаленные.

6.8.2.1. Способ секущих плоскостей

Обычно в качестве секущих плоскостей используются плоскости уровня, т.к. линии пересечения их с заданными поверхностями проецируются на плоскость проекций без искажения. Также в некоторых случаях используются и проецирующие плоскости.

Этот способ применяют тогда, когда дополнительные плоскости рассекают заданные поверхности по окружностям-параллелям или прямым-образующим.

Пример: Построить линию пересечения кругового конуса и сферы.

Рис. 6.23

Конус и сфера имеют общую плоскость симметрии , параллельную фронтальной плоскости проекций, с помощью которой находятся высшая и низшая точки линии сечения А и В. Эта плоскость пересекает конус по очерковым образующим l, а сферу – по главному меридиану m.

Обе поверхности содержат семейство параллелей, параллельных горизонтальной плоскости проекций, поэтому остальные точки линии сечения необходимо находить с помощью горизонтальных плоскостей уровня.

Точки C и D, лежащие на границе видимости, находятся с помощью плоскости , проходящей через экватор сферы. Эта плоскость, в свою очередь, пересекает конус по параллели n радиуса r.

6.8.2.2. Способ секущих концентрических сфер

Применение сфер в качестве поверхностей-посредников основано на теореме о двух соосных поверхностях вращения.

Следствие этой теоремы:

Сфера, центр которой лежит на оси поверхности вращения, пересекается с последней по окружностям.

Линия пересечения сферы с поверхностью проецируется на одну из плоскостей проекций в виде отрезков, а на другую – в виде окружности.


Рис. 6.24.

Этот способ может быть использован лишь при одновременном выполнении трех условий:

Пересекающиеся поверхности – поверхности вращения.

Оси поверхностей пересекаются.

Поверхности имеют общую плоскость симметрии, параллельную одной из плоскостей проекций.


Пример: Построить линию пересечения конуса и цилиндра.


При решении этой задачи сначала строится фронтальная проекция линии пересечения, т.к. общая плоскость симметрии поверхностей параллельна фронтальной плоскости проекций.

«Крайние» точки сечения – высшая и низшая, ближайшая и наиболее удаленная точки (точки, лежащие на границе видимости относительно горизонтальной плоскости проекций) определяются с помощью плоскостей уровня.

Промежуточные точки сечения находятся с помощью секущих сфер, центр которых располагается в точке пересечения осей вращения поверхностей. Сфера минимального радиуса проводится так, чтобы она касалась одной поверхности, а вторую пересекала. Секущие сферы соосны с поверхностями конуса и цилиндра, а следовательно, пересекают их по параллелям.

Рис. 6.25


6.8.2.2. Способ секущих эксцентрических сфер

Метод секущих эксцентрических сфер может быть применен при соблюдении следующих условий:

Одна из пересекающихся поверхностей циклическая, вторая – поверхность вращения.

Поверхности должны иметь общую плоскость симметрии, параллельную одной из плоскостей проекций.

Сущность метода заключается в следующем: подбирается сфера, пересекающая обе заданные поверхности по окружностям. Точки пересечения этих окружностей будут являться искомыми точками линии сечения.

Пример: Построить линию пересечения закрытого тора с открытым тором.

Заданные поверхности располагаются так, что их оси , , а фронтальная плоскость  является плоскостью симметрии. С помощью этой плоскости находятся высшая и низшая точки сечения.

Рис. 6.26

Для построения промежуточных точек необходимо через ось тора провести фронтально-проецирующую плоскость, пересекающую тор по окружности 1-1¢.

,

¢.

О – центр сечения тора, из которого строится перпендикуляр к плоскости . На пересечении этого перпендикуляра с осью второго тора i находится центр первой секущей сферы. Радиус сферы подбирается таким образом, чтобы она пересекла тор по окружности 1-1¢.

Полученная сфера пересекает тор по параллели 2-2¢. На пересечении двух окружностей находятся искомые точки С и С¢.

Остальные точки находятся аналогично.

Серия проектной документации для строительства (СПДС) в системе государственных стандартов. Основные строительные конструкции. Единая модульная система в строительстве. Координационные оси, их маркировка, особенности нанесения размеров. Высотные отметки уровня. Чертежи планов, этажей, вертикальных разрезов, генеральных планов. УГО (условно графическое обозначение) на строительных чертежах
Начартательная геометрия и инженерная графика Методические указания к выполнению эскизов и рабочих чертежей деталей