Курс лекций по ТОЭ и типовые задания Линейные электрические цепи постоянного тока Метод контурных токов Трехфазные электрические цепи Законы Кирхгофа Метод узловых потенциалов Метод эквивалентного генератора

ЛИНЕЙНЫЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ СИНУСОИДАЛЬНОГО ТОКА

Основные величины, характеризующие синусоидальные величины функции времени

Синусоидальный ток представляет собой ток, изменяющийся во времени по синусоидальному закону:

,

где i – мгновенное (зависящее от времени) значение тока; Im – амплитуда тока; ωt + ψ – фазовый угол или фаза синусоидально изменяющейся величины, t – текущее значение времени, ψ – начальная фаза тока, равная значению фазового угла в момент времени t = 0, в радианах или градусах,

  – угловая скорость (угловая частота) переменного тока, представляющая собой скорость изменения фазового угла.

График его дан на рис. 2.1. Время, в течение которого совершается полный цикл изменения синусоидальной величины, называется периодом колебаний и обозначается Т. Величина  (Гц) называется частотой переменного тока и равна числу полных циклов изменения синусоидальной величины за 1 секунду. За время одного периода фазовый угол синусоидальной величины изменяется на 2π радиан или . Поэтому угловая скорость (частота)  (рад/с). На электрической схеме стрелкой указывается условное положительное направление синусоидальной величины.

Начальная фаза ψ, представляющая собой алгебраическую величину, положительна, когда гармоническая функция смещена влево относительно начала координат, отрицательна когда функция смещена вправо. Если сдвиг фаз между двумя гармоническими колебаниями x1(t) и x2(t) положителен (), то говорят, что колебание x1(t) опережает колебание x2(t). При  говорят, что колебания x1(t) и x2(t) находятся в фазе. При сдвиге фаз  говорят, что колебания находятся в противофазе, а при  – в квадратуре.

Любое гармоническое колебание с произвольной начальной фазой можно представить в виде суммы двух колебаний с нулевыми начальными фазами, находящихся в квадратуре:

где , ,

, .

Линейная комбинация нескольких гармонических колебаний с одной и той же частотой дает результирующее гармоническое колебание той же частоты. Дифференцирование и интегрирование гармонических колебаний приводит к гармоническим колебаниям той же частоты, сдвинутыми по фазе на :

,

.

При совместном рассмотрении двух синусоидально изменяющихся величин одной частоты разность их фазовых углов называют углом сдвига фаз. Угол сдвига фаз между синусоидами напряжения  и тока  элемента цепи обозначают буквой .

При анализе электрических цепей чаще оперируют среднеквадратичным (действующим) значением электрических величин, в которых градуируются электроизмерительные приборы. Действующее значение синусоидального тока связано с амплитудным значением тока следующим соотношением

.

Так как 

,

то среднеквадратичное значение синусоидального тока меньше его амплитуды в   раз:

.

Под средним значением синусоидального тока понимают их среднее максимальное значение за период. Если ток , то его среднее значение

.

Представление синусоидальных функций в различных формах

Синусоидальная функция времени i(t) может быть получена как проекция на вертикальную (мнимую) ось комплексной плоскости вектора Im (рис. 2.2), вращающегося в положительном направлении (против часовой стрелки) с угловой частотой ω.

Поскольку при расчете сложных цепей операции с гармоническими трансцендентными функциями затруднительны, на практике применяют комплексные представления гармонических колебаний. В электротехнике нашел применение символический метод расчета электрических цепей. Каждой синусоидальной величине на комплексной плоскости ставится в соответствие вектор.

Вектору на комплексной плоскости соответствует определенное комплексное число (символ)

,

называемое комплексной амплитудой тока. Мнимая единица .

Положение вектора на комплексной плоскости однозначно задано, если известны его длина (модуль) и угол , под которым он проведен,  – это показательная форма записи комплексного числа. Положение вектора на комплексной плоскости однозначно задано, если известны две его проекции на координатные оси. Это алгебраическая форма записи Im комплексного числа . Переход от показательной формы записи к алгебраической форме записи производят с помощью тригонометрических преобразований

.

Переход от алгебраической формы записи к показательной форме производят с помощью тех же тригонометрических преобразований:


, .

Большой буквой с точкой наверху обозначают только комплексные изображения синусоидальных функций времени. Математическое описание синусоидальной функции дано на примере тока i(t). Аналогично описывают математически ЭДС e(t), напряжение u(t) и потокосцепление ψ(t).

Используя показательную и алгебраическую формы комплексной величины (воздействия) x(t) = Amej(ωt + ψ), аргумент которой растет пропорционально времени t, легко показать, что гармонические функции представляют собой проекции этого вращающегося вектора на оси мнимых и вещественных чисел комплексной плоскости.

Действительно,

,

и

,

где  – комплексная амплитуда гармонического воздействия.

Таким образом, синусоидальная функция времени представляет собой проекцию вращающегося с угловой скоростью ω вектора Am, длина которого равна амплитуде колебаний Am, на ось мнимых чисел, а косинусоидальная функция времени – проекцию вращающегося вектора Am на ось вещественных чисел комплексной плоскости:

; .

Если расчет процессов в электрической цепи при гармонических воздействиях одинаковой частоты ω выполнять на комплексной плоскости, то все воздействия и реакции будут изображаться вращающимися с одинаковой скоростью ω векторами, неподвижными друг относительно друга. Это обстоятельство позволяет изображать гармонические функции Am = Ame jφ комплексными числами, которые характеризуются только амплитудой Am и начальной фазой ψ. При этом линейные операции над мнимыми и вещественными частями комплексных чисел заменяются операциями над самими комплексными числами. Это возможно благодаря коммутативности линейных операций относительно выделения вещественной и мнимой частей.

Комплексные воздействия обладают рядом важных для анализа электрических цепей свойств. Любое комплексное воздействие можно представить в виде суммы двух квадратурных колебаний:

.

Дифференцирование комплексного воздействия сводится к умножению его комплексной амплитуды на оператор поворота ,

.

Интегрирование комплексного воздействия сводится к делению его комплексной амплитуды на ,

.

Использование комплексных изображений значительно упрощает расчет цепей. Дело в том, что интегро-дифференциальные уравнения цепи при расчете методом комплексных амплитуд сводятся к алгебраическим уравнениям относительно комплексных амплитуд воздействия и реакции, а общий множитель e jωt, который входит в выражения x(t) и y(t), сокращается.

Пример 2.1. Дано гармоническое колебание . Определить амплитуды квадратурных составляющих колебаний, представить данное колебание в комплексной форме.

Решение. Амплитуды квадратурных колебаний

, .

Комплексная амплитуда колебания имеет вид

,

а изображение его на комплексной плоскости

.

Расчет цепи методом контурных токов