Курс лекций по ТОЭ и типовые задания Линейные электрические цепи постоянного тока Метод контурных токов domprim.ru Трехфазные электрические цепи Законы Кирхгофа Метод узловых потенциалов Метод эквивалентного генератора

Методы расчета электрических цепей

Метод контурных токов

Уравнения Кирхгофа позволяют рассчитать электрическую любую цепь, но при этом число решаемых уравнений может быть велико. Для сокращения числа решаемых уравнений рационализируют составление и решение уравнений Кирхгофа, применяя для расчета метод контурных токов, узловых потенциалов. Метод основан на применении второго закона Кирхгофа и позволяет сократить при расчете сложных систем число решаемых уравнений. Во взаимно независимых контурах, где для каждого контура хотя бы одна ветвь входит только в этот контур, рассматривают условные контурные токи во всех ветвях контура. Контурные токи в отличие от токов ветвей имеют свои индексы и их направление в контуре целесообразно выбирать одинаковым, например, по часовой стрелке. Уравнения составляют по второму закону Кирхгофа для контурных токов. Токи ветвей выражают через контурные токи по первому закону Кирхгофа. Число выбираемых контуров и число решаемых уравнений равно числу уравнений, составляемых по второму закону Кирхгофа: k = b – y + 1. Сумма сопротивлений всех резистивных элементов каждого контура со знаком плюс является коэффициентом при токе контура. Знак коэффициента при токе смежных контуров зависит от совпадения или несовпадения направления смежных контурных токов. ЭДС входит в уравнение со знаком плюс, если направление ЭДС и направление тока контура совпадают.

Пример. Записать уравнения по методу контурных токов для схемы рис. 1.6.

Схема содержит шесть ветвей (b = 6) с неизвестными токами и три узла (y = 3). Так как k = b – y + 1 = 4, то предпочтителен метод контурных токов. Для четырех контуров с токами Ik1, Ik2, Ik3, Ik4 записывают уравнения по второму закону Кирхгофа:

  (1.10)

где R11 = R1 + R2 + R3, R22 = R3 + R4, R33 = R4 + R5 + R7, R44 = R6 + R7 – полное сопротивление соответствующих контуров; R12 = R21 = R3, R23 = R32 = R4, R34 = R43 = R7 – сопротивление ветвей связи первого контура со вторым R12, второго с первым R21 и так далее E11 = E1, E22 = E2, E33 = – E2 + E3, E44 = E4 – полные ЭДС контуров.

Токи ветвей (смотри их обозначение на рис. 1.5) определяются по первому закону Кирхгофа. Например, в ветви с сопротивлениями R1, R2 протекающий снизу вверх ток I1 равен контурному току I1 = Ik1, в ветви с сопротивлением R3 протекающий сверху вниз ток равен разности токов

I2 = Ik1 – Ik2, I3 = – Ik2 + Ik3, I4 = – Ik3, I5 = – Ik3 + Ik4, I6 = – Ik4.

Если в электрической цепи будет иметься n независимых контуров, то количество уравнений будет равно n.

Общее решение системы n уравнений относительно тока Ikk

 . (1.11)


Здесь   – определитель системы.

  (1.12)

  – есть алгебраическое дополнение, полученное из определителя  путем вычеркивания k столбца и n строки и умножения полученного определителя на (–1)k + n.

В матричной форме записи уравнение (1.9) имеет вид Rk∙Ik = Ek; Ik = Gk∙Ek = Rk–1∙Ek и являются общей матричной формой записи и решения уравнений по методу контурных токов.

Метод узловых потенциалов

Метод основан на применении первого закона Кирхгофа и позволяет сократить число решаемых уравнений при нахождении неизвестных токов до y – 1. Ток в любой цепи может быть найден по закону Ома для участка цепи, содержащего ЭДС. Для того чтобы можно было применить закон Ома, надо знать потенциалы узлов. Допустим, что в схеме y узлов. Так как любая (одна) точка схемы может быть заземлена без изменения токораспределения в схеме, то мы вправе один из узлов схемы мысленно заземлить, т. е. принять потенциал его равным нулю. При этом число неизвестных уравнений уменьшить с y до y – 1. Число неизвестных в методе узловых потенциалов равно числу уравнений, которые надо составить для схемы по первому закону Кирхгофа. Обратимся к схеме на рис. 1.7. Схема имеет три узла и шесть ветвей. Если один узел схемы, например узел 1, мысленно заземлить, т. е. принять , то необходимо будет определить потенциалы только двух узлов . Для единообразия в обозначениях условимся, что проводимости ветвей будем снабжать двумя индексами, номерами узлов, к которым подключена ветвь.

В соответствии с обозначениями токов составим уравнения по первому закону Кирхгофа для второго узла:

I1 – I2 + I3 + I4 = 0,

или

Перепишем последнее уравнение следующим образом:

  (1.13)

Здесь: ;

;

.

Обсудим структуру уравнения (1.13). Множителем при  в нем является коэффициент G22, равный сумме проводимостей всех ветвей, сходящихся ко второму узлу. Проводимость G23 равняется сумме проводимостей ветвей, соединяющих узел 2 с узлом 3, взятой со знаком «минус» (в нашем случае проводимость одной ветви). Ток I22 называется узловым током второго узла. Это расчетная величина, равная алгебраической сумме токов, полученной от деления ЭДС ветвей, подходящих к узлу 2, на сопротивления данных ветвей. В эту сумму со знаком «плюс» входят токи тех ветвей, ЭДС которых направлены к узлу 2.

Подобное уравнение может быть записано и для 3 узла схемы. Если схема имеет y узлов, то ей соответствует система (y – 1) уравнений вида


 (1.14)

где Gkk – сумма проводимостей ветвей, сходящихся в узле k;

 Gkm – сумма проводимостей ветвей, соединяющих узлы k и m, взятая со знаком «минус»;

 Ikk – узловой ток k узла.

Если к k – узлу подтекает ток от источника тока, то он должен быть включен в ток Ikk со знаком «плюс», если утекает, то со знаком «минус».

Если между какими – либо двумя узлами нет ветвей, то соответствующая проводимость равна нулю. После решения системы уравнений (1.14) относительно потенциалов определяют токи в ветвях по закону Ома для участка цепи, содержащего ЭДС.

Формула двух узлов. Очень часто встречаются схемы, содержащие всего два узла. Наиболее рациональным методом расчета токов в них является метод, получивший название метода двух узлов.

Под методом двух узлов понимают метод расчета электрической цепи, в котором за искомое (через него определяют затем токи ветвей) понимают напряжение между двумя узлами схемы.

Расчетные формулы этой схемы непосредственно следуют из более общего метода – метода узловых потенциалов.

Напряжение между двумя узлами может быть найдено

  (1.15)

После того как напряжение Uab будет найдено, определяется ток в любой ветви по формуле:

Ik = (± Ek ± Uab) ∙ gk.

Пример. Найти токи в схеме рис. 1.8, если E1 = 120 В, E3 = 50 В, R1 = 2 Ом, R2 = 4 Ом , R3 = 1 Ом, R4 = 10 Ом

Решение.

.

Метод эквивалентного генератора (активного двухполюсника)

В любой электрической схеме всегда можно мысленно выделить какую-то ветвь, а всю остальную часть схемы независимо от ее структуры и сложности изобразить некоторым прямоугольником. По отношению к выделенной ветви вся схема, обозначенная прямоугольником, представляет собой так называемый двухполюсник.

Таким образом, двухполюсник – это обобщенное название схемы, которая своими двумя выходными зажимами (полюсами) присоединяется к выделенной ветви.

Если в двухполюснике есть ЭДС или (И) источник тока, то такой двухполюсник называется активным. В этом случае в прямоугольнике ставится буква A.

Если в двухполюснике нет ЭДС и источника тока, то его называют пассивным. В этом случае в прямоугольнике либо не ставится никакой буквы, либо ставится буква П.

По отношению к выделенной ветви двухполюсник при расчете можно заменить эквивалентным генератором. ЭДС генератора равна напряжению холостого хода на зажимах выделенной ветви, а внутреннее сопротивление равно входному сопротивлению двухполюсника.

Пусть задана некоторая сколь угодно сложная схема и требуется найти ток в одной ее ветви. Мысленно заключим всю схему, содержащую ЭДС и сопротивления, в прямоугольник, выделив из нее одну ветвь ab, в которой требуется найти ток I (рис. 1.9 а). Буква A в прямоугольнике свидетельствует о том, что в нем есть ЭДС (активный двухполюсник).

Естественно, что ток I не изменится, если в ветвь ab включить две равные и противоположно направленные ЭДС E1 и E2 (рис. 1.9 б). Ток можно представить в виде суммы двух токов  и :

.

Под током  будем понимать ток, вызванный ЭДС E1 и всеми ЭДС активного двухполюсника, заключенными в прямоугольник, а ток  вызывается только одной ЭДС E2. В соответствии с этим для нахождения токов  и  используем схемы рис. 1.9 в, г. Буква П в прямоугольнике схемы рис. 1.9 г свидетельствует о том, что двухполюсник в этой схеме пассивный, т. е. в нем отсутствуют все ЭДС, но оставлены внутренние сопротивления источников.

ЭДС E1 направлена встречно напряжению Uab. По закону Ома для участка цепи, содержащего ЭДС,


.

Выберем величину E1 так, чтобы ток  был равен нулю. Отсутствие тока в ветви ab эквивалентно ее размыканию (холостому ходу). Напряжение на зажимах ab при холостом ходе (x.x) ветви обозначим Uab х.х.

Следовательно, если выбрать ЭДС E1 равной напряжению Uab х.х, то ток . Так как , а , то . Ток  в соответствии со схемой рис. 1.9 г определяется так:

,

где Rвх – входное сопротивление двухполюсника по отношению к зажимам ab;

R – сопротивление ветви ab.

Уравнению отвечает эквивалентная схема рис. 1.10. В этой схеме вместо двухполюсника изображен источник ЭДС Uab х.х = E2 и сопротивление Rвх. Совокупность ЭДС Uab х.х = E2 и сопротивления Rвх можно рассматривать как некоторый эквивалентный генератор (Rвх является его внутренним сопротивлением, а Uab х.х – его ЭДС).

Таким образом, по отношению к выделенной ветви (ветви ab рис. 1.9 а) всю остальную часть схемы можно заменить эквивалентным генератором с названными значениями параметров.

Метод расчета тока в выделенной ветви, основанный на замене активного двухполюсника эквивалентным генератором, принято называть методом эквивалентного генератора или методом холостого хода и короткого замыкания.

Последовательность расчета тока этим методом рекомендуется следующая:

а) найти напряжение на зажимах разомкнутой ветви ab;

б) определить входное сопротивление Rвх всей схемы по отношению к зажимам ab при закороченных источниках ЭДС. Если среди источников питания схемы есть источники тока, то при определении входного сопротивления всей схемы по отношению к зажимам ab ветви с источниками тока следует считать разомкнутыми. Это станет понятным, если вспомнить, что внутреннее сопротивление источника тока равно бесконечности.

с) Подсчитать ток по формуле

 . (1.16)

если сопротивление ветви ab сделать равным нулю (R = 0), то для нее будет иметь место режим короткого замыкания, а протекающий по ней ток будет током короткого замыкания (Iк.з). Из (1.16) при R = 0 получим

  (1.17)

или

 . (1.18)

Из формулы (1.18) следует простой метод определения входного сопротивления. Для этого необходимо измерить напряжение холостого хода на зажимах разомкнутой ветви (Uab x.x) и ток короткого замыкания (Iк.з) при коротком замыкании ветви и найти Rвх.

Название метода – метод холостого хода и короткого замыкания – объясняется тем, что при решении этим методом для нахождения Uab x.x используется холостой ход ветви ab, а для определения входного сопротивления двухполюсника может быть использован опыт короткого замыкания ветви ab.

Пример. Определить ток в диагонали ab мостовой схемы рис. 1.11 а, полагая R1 = R4 = 1 Ом, R2 = 4 Ом, R3 = 2 Ом, R5 = 2 Ом, E1 = 10 В.

Размыкаем ветвь ab (рис. 1.11 б) и находим напряжение холостого хода:

Или

.

Подсчитаем входное сопротивление всей схемы по отношению к зажимам ab при закороченном источнике ЭДС (рис. 1.11 в).

Точки c и d схемы оказываются соединенными накоротко. Поэтому

.

Определим ток в ветви по формуле (1.16):

.

1.6. Передача энергии от активного двухполюсника нагрузке

Если нагрузка R подключена к активному двухполюснику (рис. 1.10), то через нее пойдет ток , и в ней будет выделяться мощность

 . (1.19)

Выясним, каково должно быть соотношение между сопротивлением нагрузки и входным сопротивлением двухполюсника Rвх, чтобы в сопротивлении нагрузки выделялась максимальная мощность; чему будет она равна и каков при этом будет КПД передачи. С этой целью найдем первую производную P по R и приравняем ее нулю (исследуем функцию на экстремум):

.

Отсюда  R = Rвх. (1.20)

Нетрудно найти вторую производную и убедиться в том, что она отрицательна , поэтому соотношение (1.20) соответствует максимуму функции P = f (R).

Подставим (1.20) в (1.19) и найдем максимальную мощность, которая может быть выделена в нагрузке R:

 . (1.21)

Полезная мощность, выделяющаяся в нагрузке, определяется уравнением (1.19). Полезная мощность, выделяемая эквивалентным генератором,

 . (1.22)

Коэффициент полезного действия

  . (1.23)

Если R = Rвх, то η = 0,5.

Если мощность P значительна, то работать с таким низким КПД, как 0,5, совершенно недопустимо. Но если мощность P мала, например, составляет всего несколько милливатт (такой мощностью обладают, например, различные датчики устройств автоматики), то с низким КПД можно и не считаться, поскольку в этом режиме датчик отдает нагрузке максимально возможную мощность. Выбор величины сопротивления нагрузки R, равного входному сопротивлению Rвх активного двухполюсника, называют согласованием нагрузки.

Расчет цепи методом контурных токов