Курс лекций по ТОЭ и типовые задания Линейные электрические цепи постоянного тока Метод контурных токов Трехфазные электрические цепи Законы Кирхгофа Метод узловых потенциалов Метод эквивалентного генератора

Матричная запись уравнений электрической цепи

Уравнения в матричной форме, описывающие электрическую цепь и базирующиеся на законах Кирхгофа, получаются более удобными при введении понятия обобщенной ветви. В общем случае такая ветвь может содержать пассивные элементы (rk, Lk, Ck), идеальный источник синусоидальной ЭДС ek(t) и идеальный источник синусоидального тока jk(t), соединенных между собой, как показано на рисунке 3.51, a. В комплексной форме обобщенная ветвь приведена на рисунке 3.51, б.

 Для обобщенной k-й ветви с комплексным сопротивлением справедливы соотношения 

  (3.46) 

   (3.47) 

где – комплексная проводимость обобщенной ветви.

Уравнения (3.46) и (3.47) представляют собой аналитическое выражение закона Ома для обобщенной ветви и называются компонентными уравнениями.

При вычерчивании графа электрической схемы каждая обобщенная ветвь изображается одной линией (ребром), а информация о ее внутренней структуре в граф не входит. Таким образом, представляется компонентным уравнением в форме u(i) или i(u).

При формировании системы независимых уравнений по первому закону Кирхгофа составляются уравнения для всех узлов, кроме базисного, или для главных сечений. По второму закону Кирхгофа уравнения записываются только для главных контуров.

Если для токов и напряжений обобщенных ветвей ввести в рассмотрение матричные векторы

   

и

  ,

то систему независимых структурных уравнений можно записать в матричной форме:

 – первый закон Кирхгофа для узлов, (3.48)

 – первый закон Кирхгофа для главных сечений, (3.49)

 – второй закон Кирхгофа для главных контуров, (3.50)

где  – нулевой вектор.

Соотношение (3.46) можно записать для всех nВ ветвей схемы с использованием матриц.

   

или , (3.51)

где – матрица ЭДС источников напряжения обобщенных ветвей,

– матрица токов источников тока обобщенных ветвей,

– матрица комплексных сопротивлений обобщенных ветвей,

– матрица токов обобщенных ветвей,

 – матрица токов ветвей.

Аналогичным образом можно получить матричное уравнение, соответствующее соотношению (3.47).

  , (3.52)

где  – диагональная матрица комплексных проводимостей обобщенных ветвей.

В матрице комплексных проводимостей элемент , поэтому матрицы  и взаимно обратимы, т. е. 

  = и =

Контурные уравнения в матричной форме

В качестве независимых переменных примем токи, циркулирующие по главным контурам и называемые контурными. Зная контурные токи, легко найти токи во всех ветвях схемы.

Для исследуемой схемы на рисунке 3.48 направим контурные токии по главным контурам в направлениях, заданных ветвями связи (рисунок 3.52). Выразим токи обобщенных ветвей схемы через соответствующие контурные токи:

 

 

 

 Запишем эти соотношения в матричной форме

 или , (3.53)

где – матрица контурных токов.

Умножим слева обе части выражения (3.51) на матрицу главных контуров [B]:

 

В соответствии со вторым законом Кирхгофа (3.50) . Таким образом, 

 

Выражая токи обобщенных ветвей через контурные токи согласно соотношению (3.53), получим контурные уравнения в матричной форме:

 . (3.54)

Если ввести обозначения

 

  и  

то контурные уравнения можно записать в компактной форме:

  (3.55)

 

 Матрицу  называют матрицей контурных сопротивлений, а матрицу матрицей контурных ЭДС.

Узловые уравнения в матричной форме

Выразим напряжения обобщенных ветвей схемы на рисунке 3.48, направление которых задано графом схемы (рисунок 3.49, а), через потенциалы узлов с учетом того, что базисный узел 0 имеет нулевой потенциал.

   

 

Запишем полученные выше соотношения в матричной форме:

  или  (3.56)

Умножим слева левую  и правую части соотношения (3.52) на матрицу соединений [A]:

  .

Согласно первому закону Кирхгофа (3.48) , следовательно,

.

Если выразить напряжения ветвей через потенциалы узлов, то с учетом соотношения (3.3.22) получим уравнения вида

 , (3.57)

которые называют узловыми уравнениями в матричной форме.

Если ввести обозначения

 

   и 

то узловые уравнения примут следующий вид:

 

 , (3.58)

 

где – матрица узловых проводимостей, а − матрица узловых

  токов.

Уравнения баланса мощностей в матричной форме

В соответствии с законом сохранения энергии и теоремой Телленджера алгебраическая сумма мощностей обобщенных ветвей изолированной электрической цепи равна нулю:

   

или в матричной форме для комплексных величин

 , где .

Таким образом, получим

 

  откуда . (3.59)

Для обобщенных ветвей в соответствии с уравнением (3.51) можно записать

   (3.60) 

  Заменив в уравнении (3.59) матрицу соотношением (3.60)

  ,

получим

  . (3.61)

Левая часть полученного выражения

 

 (3.62)

определяет суммарную комплексную мощность, потребляемую нагрузкой. 

 Заменив в последнем соотношении суммой rk +jxk, получим

  +j

т. е. Sнагр =+ j где - активная, а - реактивная составляющие комплексной мощности. Правая часть соотношения (3.61)

 (3.63)

выражает мощность, генерируемую источниками ЭДС и источниками тока.

Равенства (3.62) и (3.63) представляют собой математическую запись баланса мощностей.

Пример 3.12 Рассчитать комплексные токи и напряжения ветвей схемы на рисунке 3.48, если ее элементы характеризуются следующими параметрами: r1 = 45 Ом, r2 = 28 Ом, r3  = 32 Ом, r4 = 20 Ом, r5 = 36 Ом, r6 = 24 Ом, r8 = = 30 Ом, ω = 1000 с -1, L1 = 50 мГн, L3 = 25 мГн, L5 = 40 мГн, L7 = 35 мГн; С2 = 100 мкФ, С1 = 125 мкФ;  e1(t) = 40 sin(ωt – 60°) B, e4(t) = 20 sin(ωt + + 30°) B, e6(t) = 50 sin(ωt – 15°) B, e8(t) = 35 sin(ωt + 75°) B, j4(t) = 2 sin(ωt – – 30°) A, j6(t) = 6 sin(ωt + 25°) A;

Решение. На рисунке 3.53 изображена комплексная схема замещения исследуемой цепи.

Курсы японского языка в москве подробности здесь.
Расчет цепи методом контурных токов