Курс лекций по ТОЭ и типовые задания Линейные электрические цепи постоянного тока Метод контурных токов Трехфазные электрические цепи Законы Кирхгофа Метод узловых потенциалов Метод эквивалентного генератора

Топологические графы и матрицы электрических цепей

Режим электрической цепи произвольной конфигурации полностью оп­ределяется первым и вторым законами Кирхгофа. Вид уравнений электри­ческого состояния цепи, составленных по этим законам, зависит только от схемы соединения элементов (ветвей), т. е. от топологической структуры цепи, и не зависит от вида и параметров самих эле­ментов. В таком случае ветви, содержащие различные элементы, можно представлять просто линиями, а структуру цепи – совокупностью этих линий, которая называется графом электрической цепи.

При машинном способе формирования уравнений, описывающих элект­ромагнитные процессы в электрических цепях, иногда рассматривают каж­дый двухполюсный элемент как отдельную ветвь. В этом случае принимают во внимание все узлы, включая устранимые. Такое топологическое описа­ние цепи называется расширенным. При сокращенном топологи­ческом описании группы последовательно соединенных элементов рассмат­ривают в качестве отдельных ветвей, а устранимые узлы в расчет не принимаются.

Любой двухполюсный элемент или группа последовательно соединен­ных элементов на графе электрической цепи изображается отрезком ли­нии, который называется ветвью или ребром. Точки соедине­ния ветвей являются узлами (вершинами) графа. Таким образом,  граф есть совокупность узлов, соединенных друг с другом ветвями. В теории электрических цепей в основном на­ходят применение направленные (ориентированные) графы, у которых каждая ветвь имеет определенную ориента­цию, указанную стрелкой. Для графов электрических цепей направ­ление каждой ветви выбирается совпадающим с положительным направлением тока в соответствующей ветви электрической схемы.

Если ветвь и узел графа соприкасаются, то говорят, что они инцидентны.

Граф электрической цепи строят по ее эквивалентной схеме. Каждой ветви схемы соответствует ветвь (ребро) графа, а каждому узлу схемы – узел (вершина) графа. Ветви графа с помощью стрелок ориентируют в со­ответствии с положительным направлением токов, протекающих по соот­ветствующим ветвям схемы. На топологической схеме источники ЭДС и тока не изображаются. При этом ветви с источниками ЭДС сохраняются. Ветви же с идеальными источниками тока вообще не включаются в граф схемы, т.к. сопротивление таких ветвей бесконечно велико.

Рассмотрим в качестве примера электрическую цепь, схема которой дана на рисунке 3.48, и указаны направления токов в ветвях. Направленный граф этой схемы приведен на рисунке 3.49, а.

Условимся одному из узлов, называемому базисным, присва­ивать номер 0, а остальные узлы нумеровать в произвольном порядке и обозначать арабскими цифрами в кружках. Ветви графа будем нумеровать арабскими цифрами, начиная с 1, так, чтобы номера ветвей совпадали с индексами соответствующих токов на электрической схеме.

Любая часть графа, элементы которой являются элементами исходного графа, называется подграфом. Его можно получить путем удаления отдельных ветвей исходного графа. Подграфом может быть одна ветвь или один узел графа, а также любое множество ветвей и узлов, содержа­щихся в данном графе. В теории электрических цепей большое значение имеют такие подграфы, как путь, дерево, связи и сечение.

Совокупность последовательно соединенных между собой ветвей, по которым можно переместиться из одного узла графа в другой, называется путем. Каждая ветвь и каждый узел встречаются в пути только раз. Узлы, которые соединены путем графа, называются концевыми. Замкнутый путь, у которого начальный и конечный концевые узлы совпа­дают, называют контуром . Каждому из узлов контура инцидентны две ветви этого контура.

Если любые два узла графа соединены путем, то граф называют свя­зным (связанным). В противном случае граф называют несвяз­ным.

Связный подграф, содержащий все узлы графа, но не содержащий ни одного контура, называют деревом этого графа. Ветви графа, вошедшие в дерево, называются ветвями дерева; ветви, не вошедшие в дерево, называются ветвями связи (связя­ми) или хордами этого дерева. Ветви связи дополняют дерево до полного графа. Условимся в дальнейшем ветви дерева изображать жирными линиями, а ветви связи – тонкими. Для каждого графа можно образовать несколько дере­вьев, отличающихся друг от друга составом ветвей дерева. Один из таких вариантов представлен на рисунке 3.49, б.

Дерево графа можно построить сле­дующим образом. Наметить узлы графа. Затем, начав с некоторого узла, который называется корнем, вычерчивать ветви дерева, соединяю­щие другие узлы графа, не допуская при этом образования контуров.

Добавление к дереву графа любой ветви связи образует контур. Кон­туры, образованные поочередным добавлением к дереву графа его ветвей связи, называются главными контурами.

Число главных контуров равно числу ветвей связи. Условимся номера главных контуров обозначать римскими цифрами. За направление обхода контура принимают направление ветви связи этого контура.

Сечением графа называют систему или множество ветвей, уда­ление которых разбивает граф на два несвязных подграфа, каждый из ко­торых является связным. В частном случае один из этих подграфов может быть изолированным узлом.

Сечение можно изобразить  в виде следа некоторой замкнутой поверхн­ости, которая охватывает часть цепи с одним или несколькими узлами. Ни одна из ветвей графа не должна пересекаться дважды.

Главным сечением графа на­зывается такое сечение, в которое входит только одна ветвь выбранного дерева. Остальные ветви, входящие в главное сечение, являются ветвями связи. Количество главных сечений рав­но количеству ветвей дерева. За положительное направление главного сечения принимают направление ветви дерева, входящей в данное сечение, и указывают стрелкой. На рисунке 3.50 изображены главные сечения S1, S2, S3 и S4 графа.

Свойства графа не зависят от формы и длины ветвей, а также от вза­имного расположения узлов графа на плоскости и определяются только числом ветвей nВ, числом узлов nУ и способом соединения ветвей меж­ду собой.

Топологические матрицы

Для аналитического описания структуры электрической цепи, ее гра­фа и основных законов токораспределения применяют топологические матрицы.

Аналитическое представление графа необходимо для формирования уравнений сложной цепи с помощью ЭВМ.

В соответствии с видом уравнений Кирхгофа различают три топологичеcкие­ матрицы: соединений (узловую матрицу) [А], контурную (главных кон­туров) [В] и главных сечений [Q].

Полное описание структуры направленного графа дает [nУ × nВ]-матрица соединений, nУ строк которой являются поряд­ковыми номерами узлов, а nВ столбцов – номерами ветвей. Она представ­ляет собой таблицу коэффициентов уравнений, составленных по первому закону Кирхгофа для узлов схемы. Элемент матрицы aij, расположенный на пересече­нии i-й строки и j-го столбца, равен +1, если ветвь j графа соединена с узлом i и направлена от узла. Элемент матрицы aij = –1, если ветвь j соединена с узлом i и направлена к узлу. Элемент матрицы aij = 0, если ветвь j не присоединена к узлу i. Для графа на рисунке 3.49 полу­чим полную матрицу соединений:

   (3.42)

В каждом столбце матрицы [а0] имеется только два ненулевых элемента: +1 и –1, т. к. каждая ветвь инцидентна двум узлам и направлена от од­ного к другому. Сумма элементов каждого столбца матрицы [А0] равна ну­лю, т. е. строки полной матрицы являются линейно зависимыми. Из этого следует, что достаточно заполнить таблицу для (nУ – 1) узлов, которая является редуцированной (сокращенной) матрицей соеди­нений [А]. Она получается из полной матрицы соединений путем вычерки­вания строки, соответствующей выбранному базисному узлу. Вычеркивая последнюю строку в матрице (3.42), получим редуцированную матрицу соединений (узловую матрицу) [а]:

  (3.43)

Матрица главных сечений [Q] представляет собой таблицу коэф­фициентов, составленных по первому закону Кирхгофа для главных сечений. Стро­ки матрицы [Q] соответствуют сечениям, столбцы – ветвям. Элемент мат­рицы qij = +1, если ветвь j содержится в сечении i и ее ориентация совпадает с ориентацией сечения, т. е. ориентацией соответствующей ветви дерева относительно линии сечения. Элемент матрицы qij = –1, ес­ли ветвь j содержится в сечении i и направлена противоположно направ­лению сечения. Элемент матрицы qij = 0, если ветвь j не содержится в сечении i. Запишем матрицу главных сечений для рисунка 3.50:

  (3.44)

Матрица главных контуров (контурная матрица) [B] – это таблица коэффициентов уравнений, составленных по второму закону Кирхгофа. Стро­ки матрицы [B] соответствуют главным контурам, столбцы – ветвям. Элемент мат­рицы bij = +1, если ветвь j содержится в сечении i и направление ветви совпадает с направлением обхода контура. Элемент матрицы bij = –1, ес­ли ветвь j содержится в сечении i и направление ветви противоположно направ­лению обхода контура. Элемент матрицы bij = 0, если ветвь j не содержится в контуре i. Составим контурную матрицу для рисунка 32.3.9:

   (3.45)

Расчет цепи методом контурных токов