Курс лекций по ТОЭ и типовые задания Линейные электрические цепи постоянного тока Метод контурных токов Трехфазные электрические цепи Законы Кирхгофа Метод узловых потенциалов Метод эквивалентного генератора

Изображение синусоидальных функций векторами и комплексными числами

Анализ цепей с синусоидальными источниками значительно упрощается, если синусоидальные величины (токи, напряжения, ЭДС и т. д.) изображать вращающимися векторами или комплексными числами.

Пусть синусоидальный ток изменяется по закону i(t) = Im sin (ωt + ψi). Проведем из начала прямоугольной системы координат под углом ψi относительно оси абсцисс вектор длина которого в масштабе равна амплитуде тока Im (рисунок 3.36).

Проекция вектора на ось ординат i(0) = Im sin ψi, что соответствует мгновенному значению тока при t = 0. Если вектор вращать в положительном направлении (против движения часовой стрелки) с угловой частотой ω, то для произвольного момента времени t его проекция на вертикальную ось будет равна мгновенному

значению тока i(t) = Im sin(ωt + ψi).

Таким образом, для сложения двух синусоидальных токов одинаковой частоты i1(t) = I1m sin (ωt + ψ1i) и i2(t) = I2msin (ωt + ψ2i) достаточно сложить изображающие их векторы и (рисунок 3.37). Проекция полученного при этом вектора = +  на вертикальную ось будет равна сумме мгновенных значений токов i1 и i2:

 i(t) = i1(t) + i2(t) = Im sin (ωt + ψi).

Совокупность векторов, изображающих синусоидально изменяющиеся величины одинаковой частоты (токи, напряжения, ЭДС) в заданный момент времени, называют векторными диаграммами. При построении векторных диаграмм целесообразно располагать векторы для момента времени t = 0, т. к. взаимное расположение векторов остается неизменным для любого момента времени.

Применение векторных диаграмм делает анализ цепи более простым и наглядным.

Геометрические операции с векторами можно заменить операциями с комплексными числами, что существенно упрощает расчеты.

Числа вида = a + jb, где , называются комплексными.

a = Re[] – действительная часть комплексного числа

b = Im[] – мнимая часть комплексного числа

Приведенная выше форма записи комплексного числа называется алгебраической. Комплексное число изображается на комплексной плоскости точкой с координатами a и jb или радиусом-вектором, проведенным из начала координат в эту точку (рисунок 3.38). Оно может быть также записано в показательной форме , где – модуль комплексного числа, а β = arc tg b/a – аргумент комплексного числа.

Комплексные числа = a + jb и = a – jb называются комплексно-сопряженными.

Вектору в декартовой системе координат соответствует комплексное числона комплексной плоскости. Комплексная величина называется комплексной амплитудой тока. Вращающемуся с угловой частотой ω векторусоответствует комплексная функция времени, которая называется комплексным мгновенным током:

= Im cos(ωt + ψi) + jIm sin(ωt + ψi) = Re + jIm.

Следовательно, синусоидальный ток i(t) и его изображение комплексной величиной однозначно связаны следующим равенством:

i(t) = = Im sin(ωt + ψi)

Функцию называют оператором вращения. Комплексная величина где I=называется комплексным действующим током или просто комплексным током.

Таким образом, для мгновенного значения тока i(t) = Im sin (ωt + ψi) можно записать комплексную амплитуду и комплексный ток. И наоборот, если задана комплексная амплитуда тока (комплексный ток  то известны амплитуда (действующее значение) и начальная фаза тока.

Из вышесказанного следует, что комплексная амплитуда токакомплексный токи комплексный мгновенный синусоидальный ток являются изображениями синусоидального тока i(t).

Метод расчета цепей синусоидального тока, основанный на изображении гармонических функций времени комплексными числами, называется методом комплексных амплитуд или комплексным методом расчета. При этом параметр времени t можно исключить из расчета.

Мощность в цепи синусоидального тока

Произведение мгновенного значения приложенного к цепи напряжения u(t) и мгновенного значения проходящего по цепи тока i(t) называют мгновенной мощностью:

  p(t) = u(t)i(t). (3.32)

 

Среднее значение мгновенной мощности за период называется активной мощностью:

   (3.33)

Активная мощность измеряется в ваттах (Вт) и характеризует энергию, которая передается от источника к нагрузке, где она превращается в другие виды энергии.

Множитель cosφ называют коэффициентом мощности. Чем больше cosφ, тем больше активная мощность при заданных действующих значениях напряжения U и тока I.

Произведение действующих значений напряжения U и тока I называют полной мощностью:

  S = UI. (3.34)

Полная мощность измеряется в вольт-амперах (ВА) и характеризует предельную мощность источника при cosφ = 1.

  При расчетах электрических цепей используется также понятие реактивной мощности: 

 Q = UIsinφ. (3.35)

Реактивная мощность характеризует энергию, которая периодически циркулирует между источником и нагрузкой. Она измеряется в вольт-амперах реактивных (вар). При индуктивной нагрузке (φ > 0) реактивная мощность положительна, а при емкостной нагрузке (φ < 0) отрицательна.

Активная P, реактивная Q и полная S мощности связаны между собой соотношениями прямоугольного треугольника (треугольника мощностей):

  P= S cosφ; Q = S sinφ. (3.36) 

  Произведение комплексного напряжения и комплексного тока  сопряженного с комплексным током , называют комплексной мощностью:

 

   (3.37)

Пример 3.10 К цепи на рисунке 3.39 приложено напряжение u(t) = = 200 sin (ωt – 30°) В промышленной частоты (f = 50 Гц). Параметры элементов схемы: r1 = 120 Ом, r2 = 80 Ом, L1 = 286,48 мГн, L3 = 477,46 мГн, С2 = 31,83 мкФ. Требуется:

1 Найти комплексные и мгновенные значения токов в ветвях.

2 Составить баланс мощностей.

3 Определить показания измерительных приборов электродинамической (ваттметра) и электромагнитной (амперметра и вольтметра) систем, включенных в цепь. 

4 Построить топографическую диаграмму напряжений и векторную диаграмму токов.

Решение. Начертим расчетную электрическую схему (рисунок 3.40) и рассчитаем токи ветвей методом комплексных амплитуд.

 Вычислим сопротивления реактивных элементов схемы:

xL1 = ωL1 = 2πfL1 = 90 Ом;

xL3 = ωL3 = 2πfL3 = 150 Ом;

xС2 = 1/ωС2 = 1/2πfС2 = 100 Ом.

Комплексные сопротивления ветвей:

= r1 + jxL1 = 120 + j90 Ом; = r2 – jxС2 =80 – j100 Ом; 

= jxL3 = j150 Ом.

Комплексная амплитуда напряжения на входе цепи:

Комплексное входное сопротивление схемы:

Находим комплексные амплитуды токов:

Запишем выражения для мгновенных значений токов ветвей:

Комплексные токи ветвей находим, используя соотношение (3.31):

Комплексное входное напряжение:

 

Составим баланс электрических мощностей.

Комплексная мощность источника:

Рист = 55,148 Вт, Qист = 19,436 вар.

Комплексная мощность нагрузки:

 

Рнагр = 55,133 Вт, Qнагр = 19,435 вар.

Найдем относительную погрешность расчета активной δP и реактивной δQ мощности:

Определяем показания измерительных приборов. Вольтметр V покажет действующее значение входного напряжения:

UV = 141,42 В,

а показание вольтметра V1 составит:

 

UV1 =

Амперметр А измеряет действующий ток I3, т. е.

IA = I3 = 0,56 А.

Показание ваттметра

Построим векторную диаграмму токов и топографическую диаграмму напряжений схемы. Для построения топографической диаграммы напряжений обозначим буквами a, b ,c, d, e узлы (включая устранимые) исследуемой схемы (рисунок 3.41). Отложим из начала координат на рисунке 3.42 векторы токов в масштабе mi = 0,2 А/см. Примем потенциал точки e равным нулю (φe = 0) и вычислим комплексные потенциалы остальных точек:

 

Отметим на комплексной плоскости в масштабе mu = 25 В/см найденные потенциалы узлов, при этом каждой точке схемы соответствует определенная точка на топографической диаграмме. Соединив соответствующие точки, получим векторы комплексных напряжений элементов заданной схемы.

Следует обратить внимание на то, что векторы напряжений направлены относительно точек топографической диаграммы противоположно положительным направлениям напряжений относительно соответствующих точек схемы. 

Расчет цепи методом контурных токов