Курс лекций по ТОЭ и типовые задания Линейные электрические цепи постоянного тока Метод контурных токов Трехфазные электрические цепи Законы Кирхгофа Метод узловых потенциалов Метод эквивалентного генератора

Метод эквивалентного генератора (активного двухполюсника)

Этот метод целесообразно применять при расчете тока только в одной из ветвей сложной электрической цепи. В основе метода лежит теорема об эквивалентном источнике, которая формулируется следующим образом:

“Ток в ветви ab (рисунок 3.31, а) линейной электрической цепи не изменится, если остальную часть цепи заменить эквивалентным источником напряжения (генератором напряжения) на рисунке 3.31, б, ЭДС Eг которого равна напряжению Uх на зажимах a и b разомкнутой ветви, а внутреннее сопротивление rг равно входному сопротивлению Rab схемы относительно точек a и b ”. В такой формулировке теорема носит название теоремы Тевенена – Гельмгольца.

В другом варианте теорема об активном двухполюснике (терема Нортона) формулируется так: “Ток в ветви ab линейной электрической цепи не изменится, если остальную часть цепи заменить эквивалентным источником тока с током Jг, равным току Iк, протекающему по короткозамкнутому участку ab, и внутренним сопротивлением rг, равным входному сопротивлению Rab схемы относительно точек a и b ”.

В соответствии с двумя вариантами теоремы активный двухполюсник может быть представлен двумя схемами замещения:

а) с источником ЭДС Eг, т. е. эквивалентным генератором напряжения (ЭГН) на рисунке 3.31, б;

б) с источником тока Jг, т. е. эквивалентным генератором тока (ЭГТ) на рисунке 3.31, в.

Искомый ток в ветви ab для приведенных выше схем находят по следующим формулам:

  – формула Тевенена – Гельмгольца, (3.28)

   – формула Нортона. (3.29)

При расчете электрических цепей методом эквивалентного генератора операции выполняют в следующем порядке.

Метод эквивалентного генератора напряжений

1 Произвести разрыв схемы электрической цепи в точках присоединения элемента, ток через который требуется определить.

2 Рассчитать напряжение Uх между точками разрыва (напряжение холостого хода), которое будет равно ЭДС Eг эквивалентного генератора. Расчет схемы в режиме холостого хода для определения Uх можно выполнить любым способом.

3 Определить внутреннее сопротивление rг эквивалентного генератора, которое равно входному сопротивлению пассивной цепи относительно точек a и b исходной схемы при условии, что источники ЭДС заменены короткозамкнутыми участками, а источники тока – разрывами цепи.

4 Найти искомый ток по формуле (3.28).

Метод эквивалентного генератора тока

1  Элемент, ток через который требуется найти, заменить короткозамкнутым участком.

2  Определить ток Iк на этом участке, который будет равен току Jг эквивалентного генератора тока.

3 Рассчитать внутреннее сопротивление rг эквивалентного генератора, которое находят точно так же, как в рассмотренном выше методе ЭГН.

4 Найти искомый ток по формуле (3.29).

Пример 3.8 Методом эквивалентного генератора определить ток I6 схемы электрической цепи на рисунке 3.32, а.

Дано: E1 = 15 В, E4 = 20 В, E6 =18 В, R1 = 12 Ом, R2 = 16 Ом, R3 = 13 Ом, R4 = 15 Ом, R5 = 18 Ом, R6 = 24 Ом.

Решение. Воспользуемся методом эквивалентного генератора напряжения. Обозначим направление искомого тока I6 на исходной схеме. Отключим сопротивление R6 от схемы и определим напряжение Uх между точками a и b. С этой целью рассчитаем полученную схему (рисунок 3.32, б) методом узловых потенциалов. Схема имеет два узла, потенциал одного из которых, например узла 2, примем равным нулю (φ2 = 0). 

Составим уравнение для определения потенциала φ1 узла 1:

 .

Решая уравнение, найдем потенциал φ1 = 9,082 В, а затем токи и по закону Ома:

 

Обойдя контур а–b–1–3–а по второму закону Кирхгофа, найдем напряжение Uх на зажимах ab:

  Uх = Е6 +В.

Найденное значение Uх равно ЭДС эквивалентного генератора: Eг = Uх.

Для определения второго параметра эквивалентного генератора (внутреннего сопротивления rг) вычислим входное сопротивление схемы на рисунке 3.32, б относительно точек a и b. Источники ЭДС при этом из схемы удаляются и заменяются короткозамкнутыми участками (рисунок 3.33, а).

Заменим треугольник сопротивлений R1, R2, R3 эквивалентной звездой (рисунок 3. 33, б) с сопротивлениями

 

Ом; Ом;

 Ом.

 

Входное сопротивление схемы 

Ом.

Оно равно внутреннему сопротивлению rг эквивалентного генератора.

Таким образом, вычислив параметры эквивалентного генератора напряжения (выделен пунктиром на рисунке 3.34), найдем значение искомого тока по формуле обобщенного закона Ома:

А.

 

Метод наложения

Метод наложения (суперпозиции) заключается в том, что в линейной электрической цепи с несколькими источниками ЭДС и токов ток в любой ветви равен алгебраической сумме частичных токов, каждый из которых обусловлен действием одного из имеющихся в цепи источников. При использовании этого метода для расчета тока в какой-либо ветви исходной электрической схемы поочередно рассматривают частичные схемы, в каждой из которых действует только один источник. Остальные идеальные источники ЭДС заменяют короткозамкнутыми участками, а ветви с источниками токов разрываются. Искомый ток в ветви определяют алгебраическим суммированием найденных значений частичных токов.

Следует иметь в виду, что принцип наложения неприменим для квадратичных форм, поэтому им нельзя пользоваться при расчете электрической мощности.

Метод наложения целесообразно применять только при расчете относительно простых линейных электрических цепей с небольшим количеством источников энергии.

Пример 3.9 Найти токи в ветвях цепи, схема которой дана на рисунке 3.35, а. Параметры элементов цепи: E = 6 В,  J = 4 A, R1 = 9 Ом, R2 = 3 Ом, R3 = 13 Ом.

Решение. Произвольно выберем направления токов в ветвях исходной схемы и обозначим их. Рассмотрим две частичные схемы, в одной из которых действует источник ЭДС Е (схема 3.35, б), а в другой – источник тока J (схема 3.35, в). Рассчитаем частичные токи в ветвях каждой схемы:

  

  

Вычислим истинные токи в ветвях исходной схемы в виде алгебраических сумм соответствующих частичных токов:

А;  

3.3 Цепи синусоидального тока

Переменным током называют ток, изменяющийся во времени. Токи, мгновенные значения которых повторяются через равные промежутки времени, называются периодическими. На практике широкое применение находит периодический ток, являющийся синусоидальной функцией времени и называемый синусоидальным током.

Мгновенное значение синусоидального тока определяется по формуле:

 i(t) = Im sin (ωt + ψi),

где  Im – амплитуда тока;

 (ωt + ψi) – фазовый угол (фаза); 

 ψi – начальная фаза; 

  ω – угловая частота, равная скорости изменения фазы тока. 

Периодом Т синусоидального тока называют наименьший промежуток времени, через который мгновенные значения тока повторяются. Величина, обратная периоду, называется частотой периодического тока

 f =1/Т.

Если Т измеряется в секундах, то частота измеряется в герцах (Гц). Связь между ω и f определяется выражением

 ω= 2π/Т = 2π f.

При совместном рассмотрении двух синусоидальных величин одной частоты разность их начальных фаз называют сдвигом фаз. Разность фаз напряжения u(t) = Um sin (ωt + ψu) и тока i(t) = Im sin (ωt + ψi) на участке цепи обозначают φ:

 φ = ψu – ψi.

Если φ = 0, то говорят, что напряжение и ток совпадают по фазе.

Если φ > 0, то ток i(t) отстает от напряжения u(t) по фазе на угол φ.

Если φ < 0, то ток i(t) опережает напряжение u(t) по фазе на угол φ.

Если φ = ± π, то говорят, что ток i(t) и напряжение u(t) находятся в противофазе.

Переменный ток характеризуется его действующим значением. Действующее значение переменного тока численно равно такому значению I постоянного тока, который на одном и том же сопротивлении за время одного периода произведет тот же самый тепловой эффект, что и периодический ток. Таким образом, действующее значение периодического переменного тока (действующий ток) равно его среднеквадратичному значению за период .

 

 .  (3.30)

Действующее значение I и амплитуда Im синусоидального тока связаны между собой соотношением:

  (3.31)

Аналогичные соотношения справедливы для синусоидальных напряжений и ЭДС:

    

Расчет цепи методом контурных токов