Геометрия
Практикум
Математика
Лекции
Графика
Сопромат
Алгебра
Физика

Контрольная

Задачи
Типовой
На главную
Черчение
Механика
Курсовая
Электротехника

Метод узловых потенциалов

Этот метод базируется на применении первого закона Кирхгофа и закона Ома. Суть метода заключается в том, что расчетным путем определяются потенциалы узлов электрической схемы относительно какого-либо узла, принятого в качестве базисного, а потенциал последнего принимают равным нулю. Расчет сводится к решению системы m = nу – 1 уравнений, составленных только по первому закону Кирхгофа. Решив систему уравнений, находят потенциалы узлов, а затем по закону Ома определяют токи ветвей, соединяющих узлы.

Для определения потенциалов (φ1, φ2, …, φk, …, φm) узлов электрической схемы составляется следующая система уравнений:

 G11φ1 – G12φ2 –… – G1kφk – … – G1mφm =

– G21φ1 + G22φ2 – … – G2kφk – … – G2mφm =

………………………………………………..  (3.25) 

– Gk1φ1 – Gk2φ2 + … + Gkkφk – … – Gkmφm =  

…………………………………………………

– Gm1φ1 – Gm2φ2 – … – Gmkφk – … + Gmmφm =

где  Gkk – собственная проводимость узла k, равная сумме проводимостей 

  ветвей, соединенных с этим узлом; эта проводимость всегда по-

  ложительна;

 Gkm – взаимная проводимость между узлами k и m, равная сумме прово-

 димостей ветвей, непосредственно соединяющих эти узлы; взаим-

 ную проводимость всегда берут со знаком ”минус“, при этом

 Gkm = Gmk;

  – узловой ток k-го узла, состоящий из слагаемых:

  – алгебраическая сумма произведений ЭДС ветвей, присоединен-

  ных к узлу k, на их проводимости; при этом со знаком ”плюс“

  берутся те ЭДС, которые действуют в направлении узла k, а

  со знаком ”минус“ – в направлении от узла k;

 – алгебраическая сумма токов источников тока, присоединенных к

 узлу k; эти токи берутся со знаком ”плюс“, если они направлены к

 узлу k, и со знаком ”минус“ при их направлении от узла k.

Система уравнений узловых потенциалов (3.25) может быть записана в матричной форме

   (3.26)

где   

Решив уравнение (3.26) относительно матрицы получим

 

   (3.27) 

Порядок расчета

1 Пронумеровать узлы электрической схемы и принять потенциал одного из узлов (базисного) равным нулю, т. е. условно заземлить его.

2 Составить систему уравнений относительно потенциалов незаземленных узлов в соответствии с системой уравнений (3.25).

3 Решая полученную систему уравнений, найти потенциалы узлов.

4 Определить токи в ветвях по закону Ома.

Методом узловых потенциалов целесообразно пользоваться в том случае, когда число уравнений будет меньше числа уравнений, составленных по методу контурных токов.

Пример 3.6 Найти токи в ветвях схемы на рисунке 3.28 методом узловых потенциалов.

Дано: E1 = 8 В, E3 = 6 В, E4 = 12 В, J3 = 3 А, J4 = 4 А, R1 = 3 Ом, R2 = 4 Ом, R3 = 6 Ом, R4 = 5 Ом. 

Решение. Обозначим цифрами узлы схемы и примем потенциал базисного узла 3 равным нулю. Составим систему уравнений относительно неизвестных потенциалов φ1 и φ2 узлов 1 и 2:

 

где G11 = 1/R1 + 1/R2 + 1/R3 = 0,75 См;

 G22 = 1/R1 + 1/R2 + 1/R4 = 0,783 См;

  G12 = G21 = – (1/R1 + 1/R2) = – 0,583 См;

 = – E1/R1 – E3/R3 + J3 = – 0,667 См;

  = E1/R1 + E4/R4 – J4 = 1,067 См.

Решая полученную систему уравнений, найдем потенциалы узлов:

φ1 = 0,404 В, φ2 = 1,663 В.

Сопоставляя значения потенциалов узлов с ЭДС ветвей, найдем значения и направления токов (укажем их стрелками) ветвей схемы по закону Ома:

 

Если какая-либо ветвь электрической цепи имеет только идеальный источник ЭДС, внутреннее сопротивление которого равно нулю, то напряжение между узлами, к которым присоединена эта ветвь, будет равно этой ЭДС. В этом случае целесообразно в качестве базисного узла выбрать один из узлов данной ветви.

Можно также избавиться от этой особой ветви, произведя эквивалентные преобразования схемы путем переноса источника ЭДС через узел.

Пример 3.7 Определить токи в ветвях электрической цепи (схема на рисунке 3.29) методом узловых потенциалов, если E4 = 12 В, E6 = 8 В, J7 = 4 A, R1 = 10 Ом, R2 = 8 Ом, R3 = 6 Ом, R5 = 4 Ом, R6 = 7 Ом, R8 = 5 Ом.

Решение. Электрическая схема содержит ветвь с идеальным источником ЭДС Е4, которая подключена к узлам 3 и 4. Перенесем эту ЭДС через узел 4 и включим в ветви с сопротивлениями R1 и R8 источники ЭДС  E1 = E4 и E8 = E4 соответственно (рисунок 3.30). Потенциалы узлов 1, 2, 3 и 5 при этом не изменятся, а потенциал узла 4 станет равен потенциалу узла 3. Примем равным нулю потенциал узла 5 и запишем систему уравнений для расчета

потенциалов узлов 1, 2 и 3:

 

  

 

Решив систему уравнений, найдем искомые потенциалы узлов:

φ1 = 2,228 В; φ2 = – 1,712 В; φ3 = 0,723 В.

Переходя к исходной схеме на рисунке 3.29, определяем потенциал узла 4:

φ4 = φ3 + Е4 = 12,723 В.

Далее, применяя закон Ома, находим токи в ветвях:

Ток I4 по закону Ома вычислить нельзя, поэтому его значение найдем по первому закону Кирхгофа для узла 4: I4 = I1+ I8 = 3,595 А.

Проверим правильность результатов расчета токов по балансу электрических мощностей.

Напряжение UJ на полюсах источника тока равно потенциалу узла 3:

 

 UJ = φ3 = 0,723 В.

Мощность источников энергии

Рист = E4I4 + E6I6 + UJJ = 53,216 Вт.

Мощность нагрузки

Pнагр =

Относительная погрешность результатов расчета:

Ядерные реакторы

AutoCAD
Электротехника
Сети
Искусство
Интегралы
Математика