Курс лекций по ТОЭ и типовые задания Линейные электрические цепи постоянного тока Метод контурных токов Трехфазные электрические цепи Законы Кирхгофа Метод узловых потенциалов Метод эквивалентного генератора

Метод узловых потенциалов

Этот метод базируется на применении первого закона Кирхгофа и закона Ома. Суть метода заключается в том, что расчетным путем определяются потенциалы узлов электрической схемы относительно какого-либо узла, принятого в качестве базисного, а потенциал последнего принимают равным нулю. Расчет сводится к решению системы m = nу – 1 уравнений, составленных только по первому закону Кирхгофа. Решив систему уравнений, находят потенциалы узлов, а затем по закону Ома определяют токи ветвей, соединяющих узлы.

Для определения потенциалов (φ1, φ2, …, φk, …, φm) узлов электрической схемы составляется следующая система уравнений:

 G11φ1 – G12φ2 –… – G1kφk – … – G1mφm =

– G21φ1 + G22φ2 – … – G2kφk – … – G2mφm =

………………………………………………..  (3.25) 

– Gk1φ1 – Gk2φ2 + … + Gkkφk – … – Gkmφm =  

…………………………………………………

– Gm1φ1 – Gm2φ2 – … – Gmkφk – … + Gmmφm =

где  Gkk – собственная проводимость узла k, равная сумме проводимостей 

  ветвей, соединенных с этим узлом; эта проводимость всегда по-

  ложительна;

 Gkm – взаимная проводимость между узлами k и m, равная сумме прово-

 димостей ветвей, непосредственно соединяющих эти узлы; взаим-

 ную проводимость всегда берут со знаком ”минус“, при этом

 Gkm = Gmk;

  – узловой ток k-го узла, состоящий из слагаемых:

  – алгебраическая сумма произведений ЭДС ветвей, присоединен-

  ных к узлу k, на их проводимости; при этом со знаком ”плюс“

  берутся те ЭДС, которые действуют в направлении узла k, а

  со знаком ”минус“ – в направлении от узла k;

 – алгебраическая сумма токов источников тока, присоединенных к

 узлу k; эти токи берутся со знаком ”плюс“, если они направлены к

 узлу k, и со знаком ”минус“ при их направлении от узла k.

Система уравнений узловых потенциалов (3.25) может быть записана в матричной форме

   (3.26)

где   

Решив уравнение (3.26) относительно матрицы получим

 

   (3.27) 

Порядок расчета

1 Пронумеровать узлы электрической схемы и принять потенциал одного из узлов (базисного) равным нулю, т. е. условно заземлить его.

2 Составить систему уравнений относительно потенциалов незаземленных узлов в соответствии с системой уравнений (3.25).

3 Решая полученную систему уравнений, найти потенциалы узлов.

4 Определить токи в ветвях по закону Ома.

Методом узловых потенциалов целесообразно пользоваться в том случае, когда число уравнений будет меньше числа уравнений, составленных по методу контурных токов.

Пример 3.6 Найти токи в ветвях схемы на рисунке 3.28 методом узловых потенциалов.

Дано: E1 = 8 В, E3 = 6 В, E4 = 12 В, J3 = 3 А, J4 = 4 А, R1 = 3 Ом, R2 = 4 Ом, R3 = 6 Ом, R4 = 5 Ом. 

Решение. Обозначим цифрами узлы схемы и примем потенциал базисного узла 3 равным нулю. Составим систему уравнений относительно неизвестных потенциалов φ1 и φ2 узлов 1 и 2:

 

где G11 = 1/R1 + 1/R2 + 1/R3 = 0,75 См;

 G22 = 1/R1 + 1/R2 + 1/R4 = 0,783 См;

  G12 = G21 = – (1/R1 + 1/R2) = – 0,583 См;

 = – E1/R1 – E3/R3 + J3 = – 0,667 См;

  = E1/R1 + E4/R4 – J4 = 1,067 См.

Решая полученную систему уравнений, найдем потенциалы узлов:

φ1 = 0,404 В, φ2 = 1,663 В.

Сопоставляя значения потенциалов узлов с ЭДС ветвей, найдем значения и направления токов (укажем их стрелками) ветвей схемы по закону Ома:

 

Если какая-либо ветвь электрической цепи имеет только идеальный источник ЭДС, внутреннее сопротивление которого равно нулю, то напряжение между узлами, к которым присоединена эта ветвь, будет равно этой ЭДС. В этом случае целесообразно в качестве базисного узла выбрать один из узлов данной ветви.

Можно также избавиться от этой особой ветви, произведя эквивалентные преобразования схемы путем переноса источника ЭДС через узел.

Пример 3.7 Определить токи в ветвях электрической цепи (схема на рисунке 3.29) методом узловых потенциалов, если E4 = 12 В, E6 = 8 В, J7 = 4 A, R1 = 10 Ом, R2 = 8 Ом, R3 = 6 Ом, R5 = 4 Ом, R6 = 7 Ом, R8 = 5 Ом.

Решение. Электрическая схема содержит ветвь с идеальным источником ЭДС Е4, которая подключена к узлам 3 и 4. Перенесем эту ЭДС через узел 4 и включим в ветви с сопротивлениями R1 и R8 источники ЭДС  E1 = E4 и E8 = E4 соответственно (рисунок 3.30). Потенциалы узлов 1, 2, 3 и 5 при этом не изменятся, а потенциал узла 4 станет равен потенциалу узла 3. Примем равным нулю потенциал узла 5 и запишем систему уравнений для расчета

потенциалов узлов 1, 2 и 3:

 

  

 

Решив систему уравнений, найдем искомые потенциалы узлов:

φ1 = 2,228 В; φ2 = – 1,712 В; φ3 = 0,723 В.

Переходя к исходной схеме на рисунке 3.29, определяем потенциал узла 4:

φ4 = φ3 + Е4 = 12,723 В.

Далее, применяя закон Ома, находим токи в ветвях:

Ток I4 по закону Ома вычислить нельзя, поэтому его значение найдем по первому закону Кирхгофа для узла 4: I4 = I1+ I8 = 3,595 А.

Проверим правильность результатов расчета токов по балансу электрических мощностей.

Напряжение UJ на полюсах источника тока равно потенциалу узла 3:

 

 UJ = φ3 = 0,723 В.

Мощность источников энергии

Рист = E4I4 + E6I6 + UJJ = 53,216 Вт.

Мощность нагрузки

Pнагр =

Относительная погрешность результатов расчета:

Расчет цепи методом контурных токов