Курс лекций по ТОЭ и типовые задания Линейные электрические цепи постоянного тока Метод контурных токов Трехфазные электрические цепи Законы Кирхгофа Метод узловых потенциалов Метод эквивалентного генератора

Методы анализа цепей

Анализ или расчет цепи заключается в определении значений токов, напряжений и мощностей отдельных участков, если заданы параметры схемы замещения цепи. Методы расчета цепей базируются на применении законов Кирхгофа.

Рассмотрим некоторую электрическую цепь, которая содержит nУ узлов и nВ ветвей, в том числе nT ветвей с источниками тока. Электрический режим цепи будет полностью определен, если будут найдены токи во всех ветвях. Если расчет электрической цепи производить путем непосредственного применения законов Кирхгофа, то необходимо составить систему nВ – nT уравнений и решить ее. При этом число независимых уравнений, составленных по первому закону Кирхгофа, будет равно nУ – 1, т. е. на единицу меньше числа узлов. Остальные уравнения в количестве n = nВ – ( nУ – 1) – nT составляются по второму закону Кирхгофа для независимых контуров.

Так как направления токов в ветвях сложной электрической цепи заранее неизвестны (за исключением ветвей с источниками токов), то предварительно выбирают их положительные направления. Контуры следует выбирать так, чтобы в них вошли все ветви схемы, а в каждый из контуров возможно меньшее число ветвей. Контуры взаимно независимы, если каждый последующий контур, для которого составляется уравнение, имеет не менее одной новой ветви.

Пример 3.3 Найти токи ветвей и напряжение UJ на зажимах источника тока цепи, схема которой приведена на рисунке 3.19, методом непосредственного применения законов Кирхгофа. Параметры элементов схемы: E4 = = 6 B, E5 = 4 B, J = 3 А, R1 = 2 Ом, R2 = 4 Ом, R3 = 5 Ом, R4 = 3 Ом, R5 = 4 Ом.

Решение. Укажем стрелками произвольно выбранные направления токов в ветвях схемы и соответствующие им падения напряжений на сопротивлениях. Обозначим узлы буквами a, b, c и d. Имеем nВ = 6, nT = 1, nУ = 4. Составим систему уравнений в количестве nВ – nT = 5 для определения неизвестных токов. В соответствии с первым законом Кирхгофа составим три уравнения для узлов a ,b и c: 

 I1 + I3 – J = 0;

  – I1 + I2 + I4 = 0; 

 – I2 + I5 + J = 0.

По второму закону Кирхгофа необходимо записать два уравнения, для чего выберем два независимых контура I и II c указанными стрелками направлениями их обхода.

  U1 + U4 – U3 = E4;

 U2 + U5 – U4 = E5 – E4,

где U1 = R1I1, U2 = R2I2, U3 = R3I3, U4 = R4I4, U5 = R5I5.

Подставив числовые значения заданных параметров схемы, получим систему уравнений:

  I1 + I3 = 3;

 – I1 + I2 + I4 = 0;

  I2 + I5 = – 3;

 2I1 – 5I3 + 3I4 = 6;

  4I2 – 3I4 + 4I5 = – 2,

решая которую находим искомые токи:

I1 = 2,584 А; I2 = 1,614 А; I3 = 0,416 А; I4 = 0,97 А; I5 = – 1,386 А.

Ток I5 имеет отрицательный знак, это означает, что его действительное направление противоположно предварительно выбранному.

Решение рассмотренного примера можно упростить, если предварительно выполнить эквивалентные преобразования в схеме.

Исключим из исходной схемы (см. рисунок 3.19) источник тока. С этой целью подключим к каждой паре узлов a – b и b – c источник тока J (рисунок 3.20, а), а затем перейдем к эквивалентной схеме на рисунке 3.20, б, где E1 = R1J = 6 В и E2 = R2J = 12 В. В результате получим двухконтурную схему, в которой три активные ветви подключены к узлам b и d. Заменим левую и среднюю ветви схемы эквивалентной и рассчитаем ее параметры по формулам (3.16, а).

В, Ом.

Таким образом, в результате последнего преобразования получена одноконтурная схема на рисунке 3.20, в, в которой остались неизменными потенциалы узлов b, c, d и ток I5. Ток I5 найдем по закону Ома

 

 

Применив второй закон Кирхгофа, найдем межузловое напряжение

 

Ubd = R6I5 – E6 = 2,1(– 1,386) – 6 = – 3,089 В.

Переходя к исходной схеме на рисунке 3.19 и применяя законы Ома и Кирхгофа, находим токи в ветвях:

I2 = I5 + J = 1,614 А; A; I1 = I2 + I4 = 2,584 А; 

I3 = J – I1 = 0,416 А.

Полученные значения токов такие же, как и найденные ранее.

Метод контурных токов

Число независимых уравнений, описывающих процессы в сложной электрической цепи, можно существенно сократить, воспользовавшись методом контурных токов, предложенных Д. К. Максвеллом.

Суть метода состоит в том, что вместо фактических токов ветвей находят фиктивные контурные токи, циркулирующие в независимых контурах. При этом ток в любой ветви равен алгебраической сумме контурных токов, проходящих по этой ветви.

Порядок расчета

1 Произвольно выбрать положительные направления токов в ветвях исходной схемы.

2 Произвольно выбрать положительные направления контурных токов для каждого независимого контура электрической схемы. Если в схеме есть ветви с источниками тока, то сначала выбирают контурные токи таким образом, чтобы каждый из них проходил по ветви с источником тока и совпадал с ним по направлению. Таким образом, эти контурные токи Ji будут заранее известны. Остальные контурные токи выбирают проходящими по ветвям, не содержащим источников тока.

3 Обходя каждый из независимых контуров в выбранном направлении, записать n линейных алгебраических уравнений следующего вида:

R11I11 + R12I22 + … + R1kIkk + … + R1nInn + = E11;

  … …

Rk1I11 + Rk2I22 + … + RkkIkk + … + RknInn += Ekk; (3.19)

  … …

Rn1I11 + Rn2I22 + … + RnkIkk + … + RnnInn + = Enn,

где Rkk – собственное сопротивление контура k, равное сумме сопротивле-

  ний всех ветвей контура k; значения Rkk всегда записывают со 

  знаком “плюс”;

 Rkn – общее сопротивление контуров k и n, причем, Rkn = Rnk; общее со-

 противление контуров записывается со знаком “плюс”, если кон- 

 турный ток Ikk совпадает по направлению с контурным током Inn, в

  противном случае оно записывается со знаком “минус”;

  Rki – общее сопротивление контура k и контура i, по которому циркули- 

  рует ток источника тока Ji; знак Rki выбирают по тем же правилам,

  что и сопротивления Rkn;

 Ekk – контурная ЭДС, равная алгебраической сумме ЭДС контура k;

 ЭДС, действующие в направлении обхода контура, берут со знаком 

 „плюс“, а направленные встречно – со знаком “минус”.

4 Вычислить истинные токи в ветвях в виде алгебраических сумм контурных токов, протекающих по соответствующим ветвям.

Пример 3.4 Рассчитать методом контурных токов токи в цепи, схема которой приведена на рисунке 3.21.

Дано: E1 = 50 B, E4 = 150 B, E5 = 30 B, J = 3 А, R1 = 10 Ом, R2 = 15 Ом, R3 = 5 Ом, R4 = 5 Ом, R5 = 25 Ом.

Решение. Выберем положительные направления токов ветвей и укажем их на схеме стрелками. Схема содержит три независимых контура, в одном из которых контурный ток выберем равным току источника тока J. Два других контурных тока обозначим I11 и I22 соответственно и укажем их направление. Составим систему линейных алгебраических уравнений в соответствии с (3.19).

R11I11 + R12I22 + R13 J = E11;

R21I11 + R22I22 + R23 J = E22,

где R11 = R1 + R2 + R3 = 30 Ом; R22 = R2 + R4  + R5 = 45 Ом; R12 = R21 = R2 = 15 Ом;

 R13 = – R3 = 5 Ом; R23 = R5 = 25 Ом; E11 = E1 = 50В; E22 = E4 – E5 = 120 В.

Подставим числовые значения и получим систему уравнений

30I11 + 15I22 = 65;

15I11 + 45I22 = 45,

решив которую найдем контурные токи I11 = 2 А, I22 = 0,333 А.

Токи в ветвях равны алгебраической сумме контурных токов, проходящих по этим ветвям:

I1 = I11 = 2 А; I2 = I11 + I22 = 2,333 А; I3 = – I11 + J = 1 A; I4 = I22 = 0,333 А;

I5 = – I22 – J = – 3,333 A.

Ток I5 имеет направление, противоположное выбранному.

панорамная фотосъемка улиц
Расчет цепи методом контурных токов