Курс лекций по ТОЭ и типовые задания Линейные электрические цепи постоянного тока Метод контурных токов Трехфазные электрические цепи Законы Кирхгофа Метод узловых потенциалов Метод эквивалентного генератора

Напряжение на участке цепи

Под напряжением на некотором участке электрической цепи понимают разность потенциалов между крайними точками этого участка.

На рис. 1.4 а изображен участок цепи, на котором есть сопротивление R и нет ЭДС. Крайние точки этого участка обозначены буквами a и b. Пусть

ток I течет от точки a к точке b. За условное положительное направление тока в электротехнике принято направление движения положительных зарядов (от точки с более высоким потенциалом к точке с меньшим потенциалом).

На участке цепи без ЭДС ток течет от более высокого потенциала к более низкому потенциалу. Следовательно, потенциал точки a () выше потенциала точки b () на величину, равную произведению сопротивления R на ток I:

.

В соответствии с определением напряжение между точками a и b

.

Следовательно, Uab = R ∙ I. Другими словами, напряжение на сопротивлении равно произведению тока, протекающего по сопротивлению, на величину этого сопротивления. В электротехнике разность потенциалов на концах сопротивления принято называть либо напряжением на сопротивлении, либо падением напряжения. Положительное направление напряжения совпадает с положительным направлением тока, протекающего по данному сопротивлению.

Рассмотрим теперь вопрос о напряжении на участке цепи, содержащем не только сопротивление, но и ЭДС.

На рис. 1.4 б, в показаны участки некоторых цепей, по которым протекает ток I. Найдем разность потенциалов (напряжение) между точками a и c для этих участков. По определению

.

Выразим потенциал точки a через потенциал точки c. При перемещении от точки c к точке b идем встречно направлению ЭДС E (рис. 1.4 б), поэтому потенциал точки b оказывается ниже, чем потенциал точки c, на величину ЭДС E, т. е.

.

При перемещении от точки c к точке b идем согласно направлению ЭДС E (рис. 1.4 в) и поэтому потенциал точки b оказывается выше, чем потенциал точки c, на величину ЭДС E, т. е.

.

При перемещении от точки c к точке b идем согласно направлению ЭДС E (рис. 1.4 в) и поэтому потенциал точки b оказывается выше, чем потенциал точки c, на величину ЭДС E, т. е.

.

Ранее говорилось, что на участке цепи без ЭДС ток течет от более высокого потенциала к более низкому потенциалу. Поэтому в обеих схемах рис. 1.4 б, в потенциал точки a выше, чем потенциал точки b на величину падения напряжения на сопротивлении R:

.

Таким образом, для рис. 1.4 б имеем , или

.

Для рис. 1.4 в 

или 

Положительное направление напряжения указывают на схемах стрелкой. Стрелка должна быть направлена от первой буквы индекса ко второй. Так, положительное направление напряжения Uca изображают стрелкой, направленной от a к c.

Из самого определения напряжения следует также, что . Поэтому Uca = –Uca. Другими словами, изменение чередования индексов равносильно изменению знака этого напряжения. На основании изложенного ясно, что напряжение может быть и положительной, и отрицательной величиной.

Основные законы электрической цепи

Закон Ома для электрической цепи, не содержащего ЭДС

Закон Ома для участка цепи, не содержащего ЭДС, устанавливает связь между током и напряжением на этом участке. Применительно к рис. 1.4 а запишем

  или .


1.4.2. Закон Ома для электрической цепи, содержащего ЭДС

Закон Ома для участка цепи, содержащего ЭДС, позволяет найти ток этого участка по известной разности потенциалов на концах участка цепи и имеющейся на этом участке ЭДС Е. Так, для схемы рис. 1.4 б

.

Аналогично для схемы рис. 1.4 в

.

В общем случае

.

Знак «плюс» перед E ставится в том случае, если направление тока и направление ЭДС совпадают.

1.4.3 Законы Кирхгофа для линейных электрических цепей

Сложная электрическая цепь характеризуется следующими понятиями: ветвь, узел, контур.

Ветвь – участок электрической цепи, по которому протекает один и тот же ток.

Узел – место соединения не менее трех ветвей электрической цепи.

Контур – замкнутый путь, проходящий по ветвям электрической цепи.

Первый закон Кирхгофа. Алгебраическая сумма токов ветвей, сходящихся в узле, равна нулю:

 . (1.4)

Для электрической цепи, содержащей y узлов, по первому закону Кирхгофа составляется y – 1 независимых уравнений для любых выбранных y – 1 узлов. Для последнего узла уравнение является зависимым, т. е. его можно получить из предыдущих уравнений. Направление токов в ветвях цепи выбирают произвольно; токи, направленные к узлу, берут с одним знаком, например плюс (+), а токи, направленные от узла, – с другим знаком, например, минус (–).

Первый закон Кирхгофа является следствием непрерывности тока и неизменности зарядов в узлах электрической цепи.

Второй закон Кирхгофа. Алгебраическая сумма напряжений на резистивных элементах замкнутого контура равна алгебраической сумме ЭДС в этом контуре:

 . (1.5)

В каждом контуре произвольно выбирают направление обхода контура. Напряжения и ЭДС в уравнении (1.5) берут с положительным знаком, если направление напряжений, ЭДС и токов совпадает с направлением обхода контура.

При расчете электрической цепи число неизвестных токов равно числу ветвей в цепи b. Составив по первому закону Кирхгофа y – 1 уравнение, по второму закону Кирхгофа остается составить k = b – y + 1 уравнений (по числу независимых контуров). Независимыми контурами называются такие контура, в которые входит хотя бы одна ветвь, не входящая в предыдущие контура.

При определении числа ветвей b не учитывают ветви с R = 0, а ветви с одним и тем же током принимают за одну ветвь. При определении числа узлов y учитывают только те узлы, в которых сходится более чем две ветви, а ветви с сопротивлением R = 0 включают в состав узла.

Пример. Для электрической цепи рис. 1.5 записать уравнения по законам Кирхгофа.

Электрическая цепь содержит 6 ветвей, 3 узла. Направления токов в ветвях выбрано произвольными. Всего требуется записать 6 независимых уравнений для определения токов во всех ветвях. Для двух любых узлов, например, 1 и 3, по первому закону Кирхгофа составляем два уравнения. Втекающие в узел токи возьмем со знаком плюс.

Для узла 1: –I1 + I2 – I3 – I5 + I6 = 0.

Для узла 3: –I4 + I5 – I6 = 0.

По второму закону Кирхгофа для 4 независимых контуров запишем уравнения. Направление обхода контуров выберем по часовой стрелке. В электрической цепи можно выделить 4 независимых контура, например: 1-й контур – E1 – R1 – R2 – R3, 2-й контур – R3 – R4 – E2, 3-й контур – E2 – R4 – R5 – E3 – R2, 4-й контур – R7 – E4 – R6.

Для 1 – го контура: (R1 + R2) ∙ I1 + R3 ∙ I2 = E1.

Для 2 – го контура: – R3 ∙ I2 – R3 ∙ I3 = E2.

Для 3 – го контура: R4 ∙ I3 – R5 ∙ I4 – R7 ∙ I5 = – E2 + E3.

Для 4 – го контура: R7 ∙ I5 + R6 ∙ I6 = E4

При вычислении токов в ветвях электрической цепи удобнее пользоваться матричной формой записи уравнений Кирхгофа:

 A ∙ I = B ∙ E,  (1.6)

где A,B – квадратные матрицы коэффициентов при токах и напряжениях порядка b×b; I,E – матрицы – столбцы неизвестных токов и заданных ЭДС.

Элементами матрицы А являются коэффициенты при токах в левой части уравнений, составленных по первому и второму законам Кирхгофа. Первые y – 1 строк матрицы А содержат коэффициенты при токах в уравнениях, составленных по первому закону Кирхгофа, и имеют элементы +1, –1, 0 в зависимости от того, с каким знаком входит данный ток в уравнение.

Элементы следующих b – y + 1строк матрицы А равны значениям сопротивлений при соответствующих токах в уравнениях, составленных по второму закону Кирхгофа, с соответствующим знаком.

Элементы матрицы В равны коэффициентам при ЭДС в правой части уравнений, составленных по законам Кирхгофа. Первые y – 1 строк матрицы имеют нулевые элементы, так как ЭДС в правой части уравнений, записанных по первому закону Кирхгофа, отсутствуют. Остальные b – y + 1 строки содержат элементы +1, –1 в зависимости от того, с каким знаком входит ЭДС в уравнение, и 0, если ЭДС в уравнение не входит.

Общее решение уравнений, составленных по законам Кирхгофа:


 I = (A-1B)∙E = GE  (1.7)

где G = A-1B – матрица проводимостей;

  (1.8)

Токи в каждой ветви:

  (1.9)

Пример. Для схемы рис. 1.5 записать уравнения по законам Кирхгофа в матричной форме записи. По первому закону Кирхгофа составлены два уравнения для узлов 1 и 3

– I1 + I2 – I3 – I5 + I6 = 0; – I4 + I5 – I6 = 0.

По второму закону Кирхгофа записываются 4 уравнения для контуров

(R1 + R2) ∙ I1 + R3 ∙ I2 = E1; – R3 ∙ I2 – R3 ∙ I3 = E2; R4 ∙ I3 – R5 ∙ I4 – R7 ∙ I5 = – E2 + E3; R7 ∙ I5 + R6 ∙ I6 = E4

В матричной форме записи

A ∙ I = B ∙ E,

где

; ;

.

Расчет цепи методом контурных токов