Курс лекций по ТОЭ и типовые задания Линейные электрические цепи постоянного тока Метод контурных токов Трехфазные электрические цепи Законы Кирхгофа Метод узловых потенциалов Метод эквивалентного генератора

Цепь из R – и C – элементов

Рассмотрим схему цепи на рис. 3.7. При переводе контакта коммутирующего элемента из нижнего положения в верхнее начинается переходный процесс, связанный с зарядом C – элемента. Дифференциальное уравнение, описывающее этот процесс (t ≥ 0), можно получить в виде

 (3.4)

Решение этого уравнения uC = uвС + uсвС.

Вынужденная составляющая напряжения на C – элементе uвС = U. Для определения свободной составляющей имеем характеристическое уравнение R1Cp + 1 = 0. Корень этого уравнения , где τ1 = R1C − постоянная времени заряда. Тогда , . Предположим, что при t = 0 – напряжение на C – элементе не равно нулю, поскольку к моменту коммутации он мог разрядиться не полностью. Тогда A1 = uC (0) − U и

  (3.5)

Ток .

Кривые 1 и 2, изображенные на рис. 3.8, поясняют характер переходных процессов при начальных условиях uC(0) = 0 и uC(0) > 0 соответственно.

При переводе контакта коммутирующего элемента из верхнего положения в нижнее (по рис. 3.4) начинается переходный процесс, связанный с разрядом C – элемента. Дифференциальное уравнение, описывающее этот процесс (иС = 0)

.

Решение этого уравнения иС = ивС + иС. Нетрудно показать, что вынужденная составляющая, ивС = 0 а свободная , где τ2 = R2C – постоянная времени разряда. Тогда, принимая, что к моменту коммутации C – элемент был заряжен до напряжения uC(0), можно записать

,.

Характер переходных процессов поясняется на рис. 3.9, где кривые 1 и 2 соответствуют иС(0) = 0 и иС(0) > 0.

3.7 Цепь из R, L и C – элементов

Рассмотрим цепь, схема которой приведена на рис. 3.10.

На основании второго закона Кирхгофа после замыкания контактов коммутирующего элемента (t ≥ 0) . Подставив в это уравнение значение тока через C – элемент , получим линейное дифференциальное уравнение второго порядка относительно uC :

.

Согласно изложенной ранее методике расчета переходных процессов классическим методом для напряжения на C – элементе можно записать иС = ивС + исвС. Для нахождения свободной составляющей составим характеристическое уравнение LCp2 + RCp + 1 = 0, решая которое, получаем

,

где  – коэффициент затухания;   - резонансная частота.

Здесь возможны два основных варианта. Во-первых, , когда свободный процесс носит апериодический характер. При этом .

Во-вторых, , когда имеет место колебательный характер переходного процесса. При этом p1 = – δ + jω0, p2 = – δ – jω0, где – угловая частота собственных колебаний. Тогда .

Далее рассмотрим два случая: u = U и и = Umsin(ωt + γи) Для первого случая вынужденная составляющая uвС = U. При апериодическом характере переходного процесса можно записать

 . (3.6)

Будем считать нулевыми независимые начальные условия, т. е. uC(0) = 0 и i(0) = 0. На основании равенства  можно записать зависимое начальное условие . Для нахождения постоянных интегрирования необходимо воспользоваться выражением (3.6) и производной от этого выражения: . На основании (3.6) и последнего выражения запишем для t = 0 два уравнения:

0 = U + A1 + A2;

.

Решая эти уравнения совместно, найдем постоянные интегрирования

  и  .Подставив A1 и A2 в (3.6), получим . Тогда ток в цепи . Напряжение на L – элементе .

На рис. 3.11 представлены качественные кривые uC, i и uL, соответствующие апериодическому переходному процессу.

При колебательном переходном процессе uC = U + e-δt (A1cosω0t + A2sinω0t) Для нахождения постоянных интегрирования, имея в виду uC(0) = 0 и , запишем для t = 0 два уравнения:

0 = U + A1;

0 = –δA1 + ω0A2,

решая которые, получим A1 = –U;  . Тогда

,

,

.

На рисунке 3.12 представлены качественные кривые i, uC, uL, соответствующие колебательному переходному процессу.

Во втором случае при подключении цепи к источнику синусоидального напряжения для нахождения вынужденных составляющих тока в цепи и напряжения на C – элементе и L – элементе следует воспользоваться символическим методом расчета, в соответствии с которым

,

где

; .

Попутно заметим, что в данной цепи возможно явление резонанса при частоте , поскольку на этой частоте отсутствует фазовый сдвиг (φ = 0) между током iв и напряжением u.

Далее получим

,

,

где , . Переходя к синусоидальным выражениям, можно записать

, ,

 .

Здесь также возможен апериодический режим и колебательный режимы. Наибольший интерес представляет колебательный режим, связанный с появлением во время переходного процесса собственных колебаний с частотой ω0. При этом:

.

Исходя из этого выражения, для нахождения постоянных интегрирования, имея в виду uC(0) = 0 и , запишем для t = 0 два уравнения:

;

,

решая которые, при  получим  . Тогда

,

,

.

При этом возможны, в зависимости от соотношения частот собственных колебаний и напряжения источника, следующие характерные варианты: ω значительно меньше ω0; ω несколько меньше ω0; ω = ω0; ω несколько больше ω0; ω значительно больше ω0. Эти варианты представлены на рис. 3.13 … 3.17 соответственно.

3.8 Вопросы и задания для самопроверки

В результате чего возникают переходные процессы?

Дайте краткую характеристику классического метода анализа переходных процессов.

Как с использованием идеальных коммутирующих элементов отразить причины возникновения переходных процессов на схеме замещения?

Приведите соотношения между током и напряжением на R – ,L – и C – элементах.

Как определить порядок дифференциального уравнения, описывающего цепь?

Сформулируйте законы коммутации.

Для какого момента времени и как определяются зависимые и независимые начальные условия?

Нарисуйте схему цепи, имеющей 2 узла, 3 ветви, источник ЭДС, R – ,L, – C-элементы и коммутирующий элемент, составьте дифференциальное уравнение, описывающее переходный процесс.

Для предыдущего задания определите начальные условия, необходимые для решения дифференциального уравнения.

Каковы особенности переходных процессов в цепях, содержащих только R – и L – элементы (R – и C – элементы)?

Приведите условия возникновения колебательного переходного процесса.

Расчет цепи методом контурных токов