Курс лекций по ТОЭ и типовые задания Линейные электрические цепи постоянного тока Метод контурных токов Трехфазные электрические цепи Законы Кирхгофа Метод узловых потенциалов Метод эквивалентного генератора

ЛИНЕЙНЫЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ ПОСТОЯННОГО ТОКА

Общая характеристика электрических цепей

Электромагнитные процессы, протекающие в электротехнических устройствах, как правило, достаточно сложны. Однако во многих случаях, их основные характеристики можно описать с помощью таких интегральных понятий, как: электрическое напряжение u, ток i, заряд q, магнитный поток Ф и электродвижущая сила (ЭДС).

Электрическое напряжение u представляет собой работу по перемещению заряда между определенными точками 1 и 2 пространства. Для напряжения, как и для тока, положительное направление может быть выбрано произвольно. Напряжение и ток на участке проводника связаны между собой законом Ома:

,

где  – сопротивление проводника, Ом; gk – его проводимость, См (сименс).

Если под действием напряжения u в проводнике перемещается заряд dq, то при этом затрачивается энергия

dW = udq = uidt.

Работа, производимая электрическим током за некоторый интервал времени t1 – t2:

,

где   – мощность электрического тока.

Для учета процессов преобразования электрической энергии в цепях вводят идеализированные элементы, процессы в которых связаны лишь с одним видом энергии поля. С энергией электрического поля связан идеализированный конденсатор, характеризуемый емкостью , с энергией магнитного поля связана идеализированная катушка, характеризуемая индуктивностью . Преобразование энергии электромагнитного поля в любой другой вид энергии учитывается  введением идеализированного резистора, характеризуемого сопротивлением r.

Для учета преобразования энергии неэлектрической природы в электрическую цепь вводят идеализированные элементы – источники напряжения и источники тока.

Соединяя между собой элементы, получают электрическую цепь, которая приближенно отображает электромагнитные процессы в системе по отношению к определенным зажимам. Процессы в цепи характеризуются понятиями напряжения и тока. При таком подходе совокупность электротехнических устройств, состоящую из соответствующим образом соединенных источников и приемников электрической энергии, предназначенных для генерации, передачи, распределения и преобразования электрической энергии и (или) информации, рассматривают как электрическую цепь. Электрическая цепь состоит из отдельных частей (объектов), выполняющих определенные функции и называемых элементами цепи. Основными элементами цепи являются источники и приемники электрической энергии (сигналов). Электротехнические устройства, производящие электрическую энергию, называются генераторами или источниками электрической энергии, а устройства, потребляющие ее – приемниками (потребителями) электрической энергии.

Элементы электрической цепи можно классифицировать по ряду признаков: числу полюсов, соотношениями воздействия и реакции, виду характеристик и др.

В зависимости от числа полюсов (входных зажимов), относительно которых интересуются процессами в цепи, различают двухполюсные, четырехполюсные и многополюсные элементы.

К двухполюсным элементам относят неуправляемые источники энергии, резисторы, катушки и конденсаторы, некоторые полупроводниковые приборы – диоды, динисторы и др.

К четырехполюсным элементам относят большинство электронных приборов, управляемые источники напряжения и тока, трансформаторы и др.

К многополюсным элементам относят полупроводниковые тетроды, операционные усилители и различные интегральные полупроводниковые приборы.

Свойства электрических цепей и их элементов принято оценивать соотношением воздействия x(t) и реакции y(t), т. е. причины и следствия. В зависимости от вида уравнения, связывающего воздействие и реакцию, элементы подразделяются на инерционные и безынерционные, линейные и нелинейные, управляемые и неуправляемые.

К безынерционным относят элементы, для которых воздействие и реакция связаны алгебраическими уравнениями, например резисторы. К инерционным относят элементы, для которых воздействие и реакция связаны интегро-дифференциальными уравнениями, например индуктивности и емкости. Для таких элементов изменение реакции y(t) во времени отличается от временной зависимости воздействия x(t). Реакция инерционных элементов связана с изменением запаса энергии электромагнитного поля. Для ее определения в некоторый момент времени t необходимо знать не только текущее значение воздействия, но и всю предысторию, т. е. значение x(t) на временном интервале от   до t0, или располагать сведениями о запасах энергии WL(t0) и WC(t0) к моменту начала (t = t0) интересующего нас процесса.

Воздействиями в электротехнике и электронике называют различные проявления электромагнитных сил, приводящие к изменению состояния электрической цепи. Под влиянием воздействия в электрической цепи возникают реакции, которые определяются как видом воздействия, так и характером самой цепи. Если воздействие используется для передачи информации, то они называются электрическими сигналами. При этом основными величинами, характеризующими состояние электрической цепи, являются электрические напряжения и ток.

Воздействия x(t) и реакции y(t) в оптоэлектронных устройствах и электротехнических системах могут иметь разнообразную форму в зависимости от их функционального назначения. При рассмотрении математических моделей воздействий будем использовать понятие обобщенного воздействия [x(t) или реакции y(t)], которое может быть как напряжением, так и током.

Все воздействия в электрических цепях можно разделить по их назначению на регулярные, или детерминированные, и нерегулярные, или случайные. Детерминированными называются воздействия, заданные в виде некоторой определенной функции времени. Такие воздействия обычно используются для передачи энергии или при измерениях. Детерминированные воздействия можно разделить на периодические и непериодические.

Периодическими называют воздействия, для которых существует отрезок времени T, отвечающий условию периодичности x(t) = x(t + nT), где n = ±1, ±2…. К периодическим воздействиям относятся гармонические колебания и периодические последовательности импульсов различной формы. Физически такие процессы идти не могут, поскольку предполагается, что они не имеют ни начала, ни конца во времени. Однако использование идеализированных периодических воздействий значительно упрощает исследование процессов в электрических цепях, поэтому они широко применяются в задачах анализа и синтеза электрических цепей.

Если воздействия не отвечают условию периодичности, то они называются непериодическими. Обычно непериодические детерминированные воздействия ограничены во времени и значительно лучше отображают реальные воздействия в электрических цепях. К непериодическим воздействиям относят одиночные импульсы или группы импульсов различной формы. Весьма часто непериодические воздействия задаются отрезками периодически функций.

Случайными называют воздействия, являющиеся произвольными функциями времени. Такие воздействия обычно используются для передачи информации в виде речи, музыки и др. К случайным воздействиям также относятся различные виды помех от действия источника внутренних шумов в электронных приборах, резистора и других элементах электрических цепей.

Случайные воздействия оценивают по их вероятностным характеристикам (математическому ожиданию, дисперсии, вероятностным распределениям и др.) и подразделяют на стационарные и нестационарные воздействия.

В связи с тем, что анализ свойств электрических цепей при регулярных воздействиях более нагляден, в курсе электротехники в основном рассматривают детерминированные воздействия, как периодические, так и непериодические.

Связь между реакцией yk, k – го элемента и приложенным воздействием xk для безынерционного элемента описывается уравнением

Yk = ak∙xk,

где ak – коэффициент пропорциональности, называемый параметром k – го элемента .

Если параметр ak является постоянным, то реакция пропорциональна воздействию и элемент называют линейным. Если же параметр ak зависит от значения воздействия или реакции, то такой элемент называют нелинейным. Цепи, содержащие только линейные элементы, называют линейными, а цепи, в которых имеется хотя бы один нелинейный элемент, – нелинейными.

Если параметр ak можно изменить путем приложения к нему управляющего воздействия, то такой элемент называют управляемым. Управляемыми могут быть резистивные, емкостные и индуктивные элементы.

Если параметр ak не изменяется, когда за воздействие принимают переменную yk, а реакцией считают переменную xk, то такой элемент называют обратимым или взаимным. Если же при взаимное замене переменных параметр ak изменяется, то такой элемент называют необратимым или невзаимным. Цепи, содержащие только обратимые элементы, называют обратимыми. Если же в цепи содержится хотя бы один необратимый элемент, то всю цепь называют необратимой. К необратимым элементам относят различные электронные и полупроводниковые приборы – транзисторы, операционные усилители и др. К обратимым элементам относят резисторы, индуктивные катушки, конденсаторы и трансформаторы.

Весьма важным является знак энергии, поступающей в элемент. Если энергия W(t), поступающая в элемент, в любой момент времени имеет положительное значение, то такой элемент называют пассивным, так как он способен только потреблять энергию. Если же энергия, поступающая в элемент, в какой – либо момент времени может принимать отрицательное значение, то такой элемент называют активным, так как он способен отдавать энергию во внешнюю цепь.

Теория электрических и магнитных цепей делится на два раздела: линейные и нелинейные цепи. При рассмотрении линейных цепей все процессы описываются линейными уравнениями. Методы расчета едины для цепей с источниками ЭДС постоянной, синусоидальной и более сложной формы как в установившихся, так и в переходных процессах. Основными принципами, на которых базируется исследование линейных цепей, являются принцип суперпозиции и принцип эквивалентного генератора.

При анализе нелинейных цепей все процессы описываются нелинейными уравнениями; принцип суперпозиции неприменим и для расчета процессов в цепи используют графоаналитические и численные методы. Само понятие электрической или магнитной цепи основывается на приближенном математическом описании процессов в реальном устройстве, при котором электрическое или магнитное поле предполагается сконцентрированным в локальной области. Математическое описание процесса сводится к составлению алгебраического или дифференциального уравнения, связывающего интегральные величины: ток, напряжение, заряд, магнитный поток.

Для каждого реального элемента устройства строят схему замещения, состоящую из идеальных элементов с линейными или нелинейными параметрами. Исследование ведут применительно к схеме замещения, составленной на основе уравнений, описывающих рассматриваемый элемент.

1.2. Характеристики и схемы замещения источников и приемников (потребителей) электрической энергии

Простейшая электрическая цепь (рис. 1.1 а) состоит из источника И и приемника П электрической энергии, соединенных проводами. Цепь может содержать переключатель К для замыкания и размыкания цепи.

В цепях постоянного тока напряжения и токи неизменны во времени. Внешняя характеристика источника представляет собой зависимость напряжения на его зажимах от тока. Для источника внешнюю характеристику снимают, изменяя параметры приемника, а для приемника – изменяя параметры источника. На рис. 1.1 б, в показаны внешние характеристики источника и приемника.

Элемент называют активным, если в нем содержатся сторонние источники ЭДС и напряжение на его выводах при отсутствии тока отлично от нуля. Пассивным называют элемент, в котором нет сторонних ЭДС и напряжение на его выводах при отсутствии тока равно нулю. Вводя абстрактные понятия идеальных линейных резистивных элементов (R), источников напряжения (ЭДС E) и тока (J), составляют схемы замещения источников и приемников, удобные для анализа электрических цепей. На рис. 1.2 представлены внешние характеристики линейного резистивного элемента (прямая 1), источника напряжения U = E (прямая 2), источника тока I = J (прямая 3) и даны графические изображения этих элементов в схемах замещения.

Для резистивного элемента, согласно закону Ома, напряжение пропорционально току: U = R ∙ I (прямая 1), для идеального источника напряжения напряжение не зависит от тока (прямая 2), а для идеального источника тока ток не зависит от напряжения (прямая 3).Любой реальный активный элемент электрической цепи имеет схему замещения, состоящую из последовательно соединенных резистивного элемента и идеального источника напряжения (рис. 1.3 а) или из параллельно соединенных резистивного элемента и идеального источника тока (рис. 1.3 б). Внешние характеристики источников математически выражаются уравнениями прямой линии

 Uи = E – Rи∙I, (1.1)

где

 . (1.2)

Следует отметить, что для идеального источника ЭДС Ru = 0, а для идеального источника тока Ru = ∞.

Внешние характеристики в этих схемах соответствуют уравнению (1.1) при

 E = R∙J = R∙IK, (1.3)

где IK – ток короткого замыкания.

Для реального источника

U = E – R∙I = R∙(J – I).

ЭДС E равна напряжению холостого хода Uх.х при токе I = 0, а ток источника J равен току короткого замыкания IK при U = 0.

Расчет цепи методом контурных токов