Контрольная по математике. Примеры решения задач

Контрольная по математике
Построение графика функции
Найти частные производные функции
Сложная функция
Дифференциальные уравнения
Написать первые три члена ряда
Повторные независимые испытания
Элементы линейного программирования
Дифференциальные уравнения первого порядка
Найти общее решение дифференциального уравнения
Однородные уравнения
Уравнения, приводящиеся к однородным
Линейные уравнения
Метод Лагранжа
Для решения уравнения Бернулли
Уравнения в полных дифференциалах
Уравнения вида y = f(y’) и x = f(y’).
При решении дифференциальных уравнений
Решить дифференциальное уравнение
Дифференциальные уравнения
Уравнения, допускающие понижение порядка
Уравнения, не содержащие явно независимой переменной
Линейные дифференциальные уравнения высших порядков
Уравнения с правой частью специального вида
Общее решение неоднородного дифференциального уравнения
Разностные (рекуррентные) уравнения
Разностные операторы
Алгебраическое уравнение
Теперь рассмотрим решение конкретных примеров
Доказать сходимость ряда
Найти область сходимости ряда
Уравнения математической физики
Вычислить интеграл
Теория вероятностей и математическая статистика
Формула полной вероятности
Вычисление пределов
Классификация точек разрыва
Найти производную функции
Производная по направлению и градиент
Исследование функций
Наибольшее и наименьшее значение функции
Провести полное исследование и построить график функции
Понятие об условном экстремуме функции двух переменных
Интегрирование по частям

Элементы линейного программирования

 Задача 23. Предприятие имеет возможность приобрести не более 20 трехтонных и не более 18 пятитонных автомашин. Отпускная цена трехтонного грузовика 4000 руб., пятитонного- 5000 руб., Сколько нужно приобрести автомашин каждой марки, чтобы их суммарная грузоподъемность была максимальной, если для приобретения автомашин выделено 150 тысяч рублей? Задачу решить графическим и аналитическим методами.

 Решение. Пусть приобретено  трехтонных и  пятитонных автомашин. Из условия задачи имеем

  (1)

Суммарная грузоподъемность приобретенных грузовиков равна

  (2)

Задача состоит в нахождении такого решения системы (1), при котором линейная форма (целевая функция) (2) принимает наибольшее значение

 Графический метод решения

 В прямоугольной системе координат  построим многоугольник , образованный прямыми  и прямую  ( рис. 9).

 Системе ( 1 ) удовлетворяют координаты точек , лежащих на пятиугольнике OABCD и внутри него . Так как прямые  и BC не параллельны, то для нахождения  оптимального решения системы ( 1), для которого линейная форма (2) принимает наибольшее значение, достаточно найти значения этой формы в точках A, B, C, D и из полученных чисел выбрать наибольшее. В нашей задаче эти точки имеет следующие координаты: A( 20; 0 ), B(20; 14 ), C( 15; 18 ), D( 0; 18 ). Подставляя координаты этих точек в (2), получим:

 L (A) =L (20; 0) =60; L (B) =L (20; 14) =130;

 L (C) =L (15; 18) =135; L (D) =L (0; 18) =90.

 

рис. 9

Следовательно,  то есть предприятию следует приобрести 15 трехтонных и 18 пятитонных автомашин.

 Аналитический метод решения. 

 В систему (1) введем дополнительные неизвестные  и  чтобы она приняла следующий вид:

  (3)

Система (3) имеет 3 уравнения и 4 неизвестных. Примем, например,   за базисные неизвестные, а - за свободное неизвестное и выразим из системы (3) неизвестные  через . Тогда

  и

 

Из последнего выражения следует, что L принимает наибольшее значение при 

(так как ). При  имеем:   и

 Следовательно, предприятие должно приобрести 15 трехтонных и 18 пятитонных автомашин при их общей грузоподъемности 135 тонн.

 Вопросы для самопроверки 1. Сформулируйте основную задачу линейного программирования. Приведите примеры.

2. Дайте геометрическую интерпретацию основной задачи линейного программирования.

3. В чем суть симплекс-метода решения задач линейного программирования?

 Методические рекомендации по организации изучения дисциплины

Примеры решения типовых задач: матрицы

Решение систем линейных уравнений Определители используются при решении систем линейных уравнений. Произвольная система линейных уравнений имеет вид:

Матричный метод Пусть дано матричное уравнение: , где  и  - заданные матрицы, причем матрица  – невырожденная. Требуется найти матрицу .

Дифференциальные уравнения