Контрольная по математике. Примеры решения задач

Лекции
Физика

Контрольная

На главную
Электротехника

Элементы линейного программирования

 Задача 23. Предприятие имеет возможность приобрести не более 20 трехтонных и не более 18 пятитонных автомашин. Отпускная цена трехтонного грузовика 4000 руб., пятитонного- 5000 руб., Сколько нужно приобрести автомашин каждой марки, чтобы их суммарная грузоподъемность была максимальной, если для приобретения автомашин выделено 150 тысяч рублей? Задачу решить графическим и аналитическим методами.

 Решение. Пусть приобретено  трехтонных и  пятитонных автомашин. Из условия задачи имеем

  (1)

Суммарная грузоподъемность приобретенных грузовиков равна

  (2)

Задача состоит в нахождении такого решения системы (1), при котором линейная форма (целевая функция) (2) принимает наибольшее значение

 Графический метод решения

 В прямоугольной системе координат  построим многоугольник , образованный прямыми  и прямую  ( рис. 9).

 Системе ( 1 ) удовлетворяют координаты точек , лежащих на пятиугольнике OABCD и внутри него . Так как прямые  и BC не параллельны, то для нахождения  оптимального решения системы ( 1), для которого линейная форма (2) принимает наибольшее значение, достаточно найти значения этой формы в точках A, B, C, D и из полученных чисел выбрать наибольшее. В нашей задаче эти точки имеет следующие координаты: A( 20; 0 ), B(20; 14 ), C( 15; 18 ), D( 0; 18 ). Подставляя координаты этих точек в (2), получим:

 L (A) =L (20; 0) =60; L (B) =L (20; 14) =130;

 L (C) =L (15; 18) =135; L (D) =L (0; 18) =90.

 

рис. 9

Следовательно,  то есть предприятию следует приобрести 15 трехтонных и 18 пятитонных автомашин.

 Аналитический метод решения. 

 В систему (1) введем дополнительные неизвестные  и  чтобы она приняла следующий вид:

  (3)

Система (3) имеет 3 уравнения и 4 неизвестных. Примем, например,   за базисные неизвестные, а - за свободное неизвестное и выразим из системы (3) неизвестные  через . Тогда

  и

 

Из последнего выражения следует, что L принимает наибольшее значение при 

(так как ). При  имеем:   и

 Следовательно, предприятие должно приобрести 15 трехтонных и 18 пятитонных автомашин при их общей грузоподъемности 135 тонн.

 Вопросы для самопроверки 1. Сформулируйте основную задачу линейного программирования. Приведите примеры.

2. Дайте геометрическую интерпретацию основной задачи линейного программирования.

3. В чем суть симплекс-метода решения задач линейного программирования?

 Методические рекомендации по организации изучения дисциплины

Примеры решения типовых задач: матрицы

Решение систем линейных уравнений Определители используются при решении систем линейных уравнений. Произвольная система линейных уравнений имеет вид:

Матричный метод Пусть дано матричное уравнение: , где  и  - заданные матрицы, причем матрица  – невырожденная. Требуется найти матрицу .

Ядерные реакторы

Сети