Контрольная по математике. Примеры решения задач

Контрольная по математике
Построение графика функции
Найти частные производные функции
Сложная функция
Дифференциальные уравнения
Написать первые три члена ряда
Повторные независимые испытания
Элементы линейного программирования
Дифференциальные уравнения первого порядка
Найти общее решение дифференциального уравнения
Однородные уравнения
Уравнения, приводящиеся к однородным
Линейные уравнения
Метод Лагранжа
Для решения уравнения Бернулли
Уравнения в полных дифференциалах
Уравнения вида y = f(y’) и x = f(y’).
При решении дифференциальных уравнений
Решить дифференциальное уравнение
Дифференциальные уравнения
Уравнения, допускающие понижение порядка
Уравнения, не содержащие явно независимой переменной
Линейные дифференциальные уравнения высших порядков
Уравнения с правой частью специального вида
Общее решение неоднородного дифференциального уравнения
Разностные (рекуррентные) уравнения
Разностные операторы
Алгебраическое уравнение
Теперь рассмотрим решение конкретных примеров
Доказать сходимость ряда
Найти область сходимости ряда
Уравнения математической физики
Вычислить интеграл
Теория вероятностей и математическая статистика
Формула полной вероятности
Вычисление пределов
Классификация точек разрыва
Найти производную функции
Производная по направлению и градиент
Исследование функций
Наибольшее и наименьшее значение функции
Провести полное исследование и построить график функции
Понятие об условном экстремуме функции двух переменных
Интегрирование по частям

Случайные величины и их числовые характеристики

Задача 20. Задан закон распределения дискретной случайной величины Х:

 Х 40 42 41 44,

 Р 0,1 0,3 0,2 0,4.

Найти: 1) математическое ожидание М(Х); 2) дисперсию D(X); 3) среднее квадратическое отклонение

Решение. 1) Если закон распределения дискретной случайной величины задан таблицей

    ….

   …. 

где в первой строке даны значения случайной величины Х, а во второй- вероятности этих значений, то математическое ожидание М(Х) вычисляется по формуле

 

Тогда М(Х) = 40·0,1+42·0,3+41·0,2+44·0,4=42,4.

Дисперсией D(X) дискретной случайной величины Х называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее ожидания, т.е.

 

 

Эта величина характеризует среднее ожидаемое значение квадрата отклонения Х от М(Х). Из последней формулы имеем

  

Дисперсию D(X) можно найти другим способом, исходя из следующего ее свойства: дисперсия D(X) равна разности между математическим ожиданием квадрата случайной величины Х и квадратом ее математического ожидания М(Х), то есть

 

Для вычисления  составим следующий закон распределения величины :

     

 Тогда

  и 

 

 3) Для характеристики рассеяния возможных значений случайной величины вокруг ее среднего значения вводится среднее квадратическое отклонение  случайной величины Х, равное квадратному корню из дисперсии , то есть 

 

 Из этой формулы имеем:  

 Задача 21. Непрерывная случайная величина Х задана интегральной функцией распределения

 

 Найти: 1) дифференциальную функцию распределения ; 2)математическое ожидание ; дисперсию .

 Решение. 1) Дифференциальной функцией распределения   непрерывной случайной величины   называется производная от интегральной функции распределения , то есть  

 .

 Искомая дифференциальная функция имеет следующий вид:

 

 2) Если непрерывная случайная величина  задана функцией , то ее математическое ожидание определяется формулой

 

Так как функция  при х<0 и при х>1 равна нулю, то из последней формулы имеем

 

Дисперсию  определим по формуле

 

Тогда

 Задача 22. Длина детали представляет собой нормально распределенную случайную величину с математическим ожиданием 40 мм и средним квадратическим отклонением 3 мм.

Найти: 1) вероятность того, что длина произвольно взятой детали будет больше 34 мм и меньше 43 мм; 2) вероятность того, что длина детали отклонится от ее математического ожидания не более чем 1,5 мм.

 Решение: 1) Пусть Х-длина детали. Если случайная величина Х задана дифференциальной функций , то вероятность того, что Х примет значения, принадлежащие отрезку , определяется по формуле

 

Вероятность выполнения строгих неравенств  определяется той же формулой. Если случайная величина Х распределена по нормальному закону, то

  (1)

Где  - функция Лапласа, 

В задаче  Тогда

По условию задачи , где 

Подставив в (1) , имеем

  (2)

Из формулы (2) имеем:

.

 Вопросы для самопроверки

Какие случайные величины называются дискретными? Непрерывными? Приведите примеры.

Что называется законом распределения случайной величины? Как задается закон распределения дискретной случайной величины?

Что называется математическим ожиданием дискретной случайной величины? ее дисперсией? средним квадратическим отклонением? Перечислите их свойства.

Дайте определение интегральной функции распределения; дифференциальной функции распределения. Перечислите свойства этих функций.

Как вычисляются математическое ожидание и дисперсия непрерывной случайной величины?

Напишите дифференциальную функцию для нормального закона распределения.

Напишите формулу для определения вероятности попадания значений нормально распределенной случайной величины в заданный интервал.

Сформулируйте правило <<трех сигм>>.

Назовите сущность закона больших чисел.

Напишите неравенство Чебышева.

Сформулируйте теорему Чебышева; теорему Бернулли.

Пример. Вычислить определитель матрицы 2-го порядка: .

Пример . Вычислить определитель из предыдущего примера Решение: Задача состоит в том, чтобы получить как можно больше нулей в какой-нибудь из строк или столбцов, и, затем разложить по этой строке (столбцу) определитель. Получим нуль в первой строке в первом столбце. Для этого умножим элементы четвертого столбца на (-1) и сложим с элементами первого столбца, при этом определитель не изменится

Ранг матрицы

Дифференциальные уравнения