Контрольная по математике. Примеры решения задач

Лекции
Физика

Контрольная

На главную
Электротехника

Случайные величины и их числовые характеристики

Задача 20. Задан закон распределения дискретной случайной величины Х:

 Х 40 42 41 44,

 Р 0,1 0,3 0,2 0,4.

Найти: 1) математическое ожидание М(Х); 2) дисперсию D(X); 3) среднее квадратическое отклонение

Решение. 1) Если закон распределения дискретной случайной величины задан таблицей

    ….

   …. 

где в первой строке даны значения случайной величины Х, а во второй- вероятности этих значений, то математическое ожидание М(Х) вычисляется по формуле

 

Тогда М(Х) = 40·0,1+42·0,3+41·0,2+44·0,4=42,4.

Дисперсией D(X) дискретной случайной величины Х называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее ожидания, т.е.

 

 

Эта величина характеризует среднее ожидаемое значение квадрата отклонения Х от М(Х). Из последней формулы имеем

  

Дисперсию D(X) можно найти другим способом, исходя из следующего ее свойства: дисперсия D(X) равна разности между математическим ожиданием квадрата случайной величины Х и квадратом ее математического ожидания М(Х), то есть

 

Для вычисления  составим следующий закон распределения величины :

     

 Тогда

  и 

 

 3) Для характеристики рассеяния возможных значений случайной величины вокруг ее среднего значения вводится среднее квадратическое отклонение  случайной величины Х, равное квадратному корню из дисперсии , то есть 

 

 Из этой формулы имеем:  

 Задача 21. Непрерывная случайная величина Х задана интегральной функцией распределения

 

 Найти: 1) дифференциальную функцию распределения ; 2)математическое ожидание ; дисперсию .

 Решение. 1) Дифференциальной функцией распределения   непрерывной случайной величины   называется производная от интегральной функции распределения , то есть  

 .

 Искомая дифференциальная функция имеет следующий вид:

 

 2) Если непрерывная случайная величина  задана функцией , то ее математическое ожидание определяется формулой

 

Так как функция  при х<0 и при х>1 равна нулю, то из последней формулы имеем

 

Дисперсию  определим по формуле

 

Тогда

 Задача 22. Длина детали представляет собой нормально распределенную случайную величину с математическим ожиданием 40 мм и средним квадратическим отклонением 3 мм.

Найти: 1) вероятность того, что длина произвольно взятой детали будет больше 34 мм и меньше 43 мм; 2) вероятность того, что длина детали отклонится от ее математического ожидания не более чем 1,5 мм.

 Решение: 1) Пусть Х-длина детали. Если случайная величина Х задана дифференциальной функций , то вероятность того, что Х примет значения, принадлежащие отрезку , определяется по формуле

 

Вероятность выполнения строгих неравенств  определяется той же формулой. Если случайная величина Х распределена по нормальному закону, то

  (1)

Где  - функция Лапласа, 

В задаче  Тогда

По условию задачи , где 

Подставив в (1) , имеем

  (2)

Из формулы (2) имеем:

.

 Вопросы для самопроверки

Какие случайные величины называются дискретными? Непрерывными? Приведите примеры.

Что называется законом распределения случайной величины? Как задается закон распределения дискретной случайной величины?

Что называется математическим ожиданием дискретной случайной величины? ее дисперсией? средним квадратическим отклонением? Перечислите их свойства.

Дайте определение интегральной функции распределения; дифференциальной функции распределения. Перечислите свойства этих функций.

Как вычисляются математическое ожидание и дисперсия непрерывной случайной величины?

Напишите дифференциальную функцию для нормального закона распределения.

Напишите формулу для определения вероятности попадания значений нормально распределенной случайной величины в заданный интервал.

Сформулируйте правило <<трех сигм>>.

Назовите сущность закона больших чисел.

Напишите неравенство Чебышева.

Сформулируйте теорему Чебышева; теорему Бернулли.

Пример. Вычислить определитель матрицы 2-го порядка: .

Пример . Вычислить определитель из предыдущего примера Решение: Задача состоит в том, чтобы получить как можно больше нулей в какой-нибудь из строк или столбцов, и, затем разложить по этой строке (столбцу) определитель. Получим нуль в первой строке в первом столбце. Для этого умножим элементы четвертого столбца на (-1) и сложим с элементами первого столбца, при этом определитель не изменится

Ранг матрицы

Ядерные реакторы

Сети