Контрольная по математике. Примеры решения задач

Контрольная по математике
Построение графика функции
Найти частные производные функции
Сложная функция
Дифференциальные уравнения
Написать первые три члена ряда
Повторные независимые испытания
Элементы линейного программирования
Дифференциальные уравнения первого порядка
Найти общее решение дифференциального уравнения
Однородные уравнения
Уравнения, приводящиеся к однородным
Линейные уравнения
Метод Лагранжа
Для решения уравнения Бернулли
Уравнения в полных дифференциалах
Уравнения вида y = f(y’) и x = f(y’).
При решении дифференциальных уравнений
Решить дифференциальное уравнение
Дифференциальные уравнения
Уравнения, допускающие понижение порядка
Уравнения, не содержащие явно независимой переменной
Линейные дифференциальные уравнения высших порядков
Уравнения с правой частью специального вида
Общее решение неоднородного дифференциального уравнения
Разностные (рекуррентные) уравнения
Разностные операторы
Алгебраическое уравнение
Теперь рассмотрим решение конкретных примеров
Доказать сходимость ряда
Найти область сходимости ряда
Уравнения математической физики
Вычислить интеграл
Теория вероятностей и математическая статистика
Формула полной вероятности
Вычисление пределов
Классификация точек разрыва
Найти производную функции
Производная по направлению и градиент
Исследование функций
Наибольшее и наименьшее значение функции
Провести полное исследование и построить график функции
Понятие об условном экстремуме функции двух переменных
Интегрирование по частям

УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ № 4 

Повторные независимые испытания

Задача 16. Вероятность всхожести семян пшеницы равна 0,9. Какова вероятность того, что из четырех посеянных семян взойдут не менее трех?

 Решение. Пусть событие A – из 4 семян взойдут не менее 3 семян; событие В- из 4 семян взойдут 3 семени; событие С- из 4 семян взойдут 4 семени. По теореме сложения вероятностей

 Р(А)=Р(В)+Р(С).

Вероятности Р(В) и Р(С) определим по формуле Бернулли, применяемой в следующем случае. Пусть проводится серия n независимых испытаний, при каждом из которых вероятность наступления события постоянна и равна р, а вероятность ненаступления этого события равна q=1-p. Тогда вероятность того, что событие A в n испытаниях появится ровно  раз, вычисляется по формуле Бернулли

 

Где  - число сочетаний из n элементов по

Тогда

 

 

Искомая вероятность

 

 

Задача 17. Вероятность всхожести семян пшеницы равна 0,9. Найти вероятность того, что из 400 посеянных семян взойдут 350 семян.

 Решение. Вычислить искомую вероятность  по формуле Бернулли затруднительно из-за громоздкости вычислений. Поэтому применим приближенную формулу, выражающую локальную теорему Лапласа.

 

где  и 

Из условия задачи 

Тогда 

Из таблицы 1 приложений находим  Искомая вероятность равна

 

Задача 18. Среди семян пшеницы 0,02% сорняков. Какова вероятность того, что при случайном отборе 10000 семян будет обнаружено 6 семян сорняков?

 Решение. Применение Локальной теоремы Лапласа из-за малой вероятности р=0,0002 приводит к значительному отклонению вероятности от точного значения . Поэтому при малых значениях р для вычисления  применяют асимптотическую формулу Пуассона

 , где 

Эта формула используется при , причем чем меньше р и больше п, тем результат точнее.

По условию задачи  Тогда  и

 

Задача 19. Процент всхожести семян пшеницы равен 90%. Найти вероятность того, что из 500 посеянных семян взойдут от 400 до 440 семян.

 Решение. Если вероятность наступления события A в каждом из п испытаний постоянна и равна р, то вероятность  того, что событие A в таких испытаниях наступит не менее  раз и не более  раз определяется по интегральной теореме Лапласа следующей формулой:

 , где

 

Функция  называется функцией Лапласа. В приложениях (табл. 2) даны значения этой функции для . При x>5 функция . При отрицательных значениях x в силу нечетности функции Лапласа . Используя функцию Лапласа, имеем:

 

По условию задачи  По приведенным выше формулам находим  и :

 

Тогда

 

 Вопросы для самопроверки

Что называется событием? Приведите примеры событий; достоверных событий; невозможных событий.

Какие события называются несовместимыми? Совместимыми? Противоположными?

Что называется относительной частотой события?

Сформулируйте статистическое определение вероятности события.

Сформулируйте классическое определение вероятности события.

Что называется условной вероятностью события?

Сформулируйте теоремы умножения вероятностей для зависимых и независимых событий.

Напишите формулу полной вероятности.

Как найти наивероятнейшее число наступлений события при повторных испытаниях?

Напишите формулу Бернулли. В каких случаях она применяется?

Сформулируйте локальную и интегральную теоремы Лапласа.

Напишите формулу Пуассона. В каких случаях она применяется?

Пример выполнения контрольной работы Задание. Определить скалярное произведение  векторов, если , , , , .

Линейная алгебра В данном разделе рассматриваются такие объекты, как матрицы и действия над ними, а также определители, которые затем используются для решения систем линейных уравнений.

Пример . Найти сумму матриц  и , где , .

Дифференциальные уравнения