Контрольная по математике. Примеры решения задач

Контрольная по математике
Построение графика функции
Найти частные производные функции
Сложная функция
Дифференциальные уравнения
Написать первые три члена ряда
Повторные независимые испытания
Элементы линейного программирования
Дифференциальные уравнения первого порядка
Найти общее решение дифференциального уравнения
Однородные уравнения
Уравнения, приводящиеся к однородным
Линейные уравнения
Метод Лагранжа
Для решения уравнения Бернулли
Уравнения в полных дифференциалах
Уравнения вида y = f(y’) и x = f(y’).
При решении дифференциальных уравнений
Решить дифференциальное уравнение
Дифференциальные уравнения
Уравнения, допускающие понижение порядка
Уравнения, не содержащие явно независимой переменной
Линейные дифференциальные уравнения высших порядков
Уравнения с правой частью специального вида
Общее решение неоднородного дифференциального уравнения
Разностные (рекуррентные) уравнения
Разностные операторы
Алгебраическое уравнение
Теперь рассмотрим решение конкретных примеров
Доказать сходимость ряда
Найти область сходимости ряда
Уравнения математической физики
Вычислить интеграл
Теория вероятностей и математическая статистика
Формула полной вероятности
Вычисление пределов
Классификация точек разрыва
Найти производную функции
Производная по направлению и градиент
Исследование функций
Наибольшее и наименьшее значение функции
Провести полное исследование и построить график функции
Понятие об условном экстремуме функции двух переменных
Интегрирование по частям

РЯДЫ

Задача 14. Написать первые три члена ряда , найти интервал сходимости ряда и исследовать его сходимость на концах интервала.

 Решение. Беря последовательно 1, 2, 3, …. , запишем данный ряд в виде:

Для нахождения области сходимости ряда применим признак Даламбера

Данный ряд сходится абсолютно при тех значениях х, которые удовлетворяют неравенству

<1, или <, или <x<.

Исследуем сходимость ряда на концах полученного интервала. При   данный ряд принимает вид .

Последний ряд является знакочередующимся; абсолютная величина его общего члена стремится к нулю при . Следовательно, по признаку Лейбница сходимости знакочередующихся рядов этот ряд сходится. Значит,  принадлежит области сходимости данного ряда.

 При  данный ряд принимает вид . Исследуем сходимость этого ряда при помощи интегрального признака сходимости Коши. Рассмотрим несобственный интеграл

 

Так как несобственный интеграл сходится, то сходится и исследуемый ряд. Значит, при

Исходный ряд сходится.

 Таким образом ,  - область сходимости данного ряда.

Задача 15. Вычислить  с точностью до 0,001.

 Решение. Представим подынтегральную функцию в виде степенного ряда. Заменив x в разложении функции sin x на , имеем

 

Тогда

 

 

 Полученный знакочередующийся ряд удовлетворяет условиям теоремы Лейбница. Так как четвертый его член по абсолютной величине меньше 0,001, то для обеспечения заданной точности достаточно взять первые три члена. Тогда

 

 Вопросы для самопроверки

Что называется числовым рядом?

Что называется n-й частичной суммой числового ряда?

Какой числовой ряд называется сходящимся?

Что является необходимым условием сходимости числового ряда?

Назовите достаточные признаки сходимости, основанные на сравнении рядов.

Назовите признак Даламбера сходимости рядов.

В чем состоит интегральный признак сходимости Коши?

Какие ряды называются знакочередующимися? Приведите примеры.

Сформулируйте признак Лейбница сходимости знакочередующихся рядов.

Какие знакочередующиеся ряды называются абсолютно сходящимися? Условно сходящимися?

Дайте определение степенного ряда и области его сходимости.

Как найти область сходимости степенного ряда?

Запишите разложение в степенной ряд функций  

Как обеспечивается требуемая точность при применении степенных рядов в приближенных вычислениях?

Кривые второго порядка

Примеры решения типовых задач: кривые второго порядка Задача Найти центр и радиус окружности, заданной уравнением .

Контрольная работа При выполнении контрольных заданий обязательно указывать название темы и номер задания, даже если задание не выполнено.

Дифференциальные уравнения