Контрольная по математике. Примеры решения задач

Лекции
Физика

Контрольная

На главную
Электротехника

Понятие об условном экстремуме функции двух переменных. При решении примера 4.9 мы столкнулись с тем, что на переменные было наложено дополнительное ограничение. Фактически это была задача поиска условного экстремума функции , которая в общем случае ставится следующим образом: найти экстремумы функции , если известно, что переменные удовлетворяют условиям , ,..., . Для решения подобных проблем существует специальная теория, однако в некоторых ситуациях задачу удается свести к поиску обычного экстремума функции одного переменного.

Пример 4.10. Найти экстремум функции  при условии .

Решение. Из условия выразим y и подставим в формулу, задающую функцию: , а потому .

Мы получили функцию одного переменного, которую исследуем по схеме, разобранной в п.4.1. Функция определена при всех x. Приравнивая к нулю производную, получаем: . Далее определяем знак производной на интервала и строим таблицу:

x

-5/3

1

+

0

0

+

Вывод

Возр.

Т. макс.

Убыв.

Т. мин.

Возр.

Для известных значений x найдем соответствующие им значения y: при x=1 y=2; при x=-5/3 y=14/3. Существующие в теории утверждения позволяют говорить о том, что точка M(1;2) будет точкой минимума исходной функции , а точка N(-5/3;14/3) – точкой максимума этой функции. Соответственно,

.

Замечание. Различные задачи на исследование функций одного и двух переменных разбираются также в [1, стр.14-18], [2, стр.14-18], [3, стр.27-32], [4, стр.16-19].

§ 5. Интегралы и их приложения

5.1. Основные определения и формулы. Функция F(x) является первообразной функции f(x), если на некотором множестве X выполняется равенство F¢(x)=f(x). Совокупность всех первообразных для f(x) называется неопределенным интегралом и обозначается . При этом, если F(x) – какая-либо из первообразных f(x), то , константа C пробегает все множество действительных чисел. В таблице 2 на стр. 26 приводятся основные формулы, в которых u=u(x).

Таблица 2

1) 

2)

3) 

4) 

5) 

6) 

7) 

8) ,

9) 

10) 

11)

12)

13)

14)

15)

16)

Очевидно, что формулы 10), 12) и 14) являются частными случаями формул 11), 13) и 15) соответственно.

Если f(x) – функция, непрерывная на отрезке [a;b], то существует определенный интеграл от этой функции, который можно вычислить по формуле Ньютона-Лейбница:

 , (5.1)

где F(x) – какая-либо первообразная для f(x). В отличие от неопределенного интеграла (представляющего собой множество функций) определенный интеграл – некоторое число.

И неопределенный, и определенный интегралы обладают свойством линейности (интеграл от суммы функций равен сумме интегралов, а постоянный множитель можно выносить за знак интеграла):

,

.

Пример 5.1. Найти: а) ; б) .

Решение. В задании а) подынтегральную функцию сначала упрощаем, разделив почленно каждое слагаемое из числителя на знаменатель, затем используем свойство линейности и «табличные» формулы 1)-3):

В задании б), помимо линейности и «табличных» формул 3), 9), 1), используем формулу Ньютона-Лейбница (5.1):

5.2. Внесение под знак дифференциала и замена переменной. Можно заметить, что иногда часть подынтегральной функции образует дифференциал некоторого выражения, что позволяет применять табличные формулы.

Пример 5.2 Найти: а) ; б) .

Решение. В примере а) можно заметить, что , а затем воспользоваться формулой 5) при u=lnx:

В случае б) , а потому в силу 11) при  получим:

Замечание 1. При внесении под знак дифференциала полезно, наряду с использованными выше, учитывать следующие соотношения:

;

.

Замечание 2. Интегралы из примера 5.2. можно было найти и с помощью замены переменной. При этом в определенном интеграле следует менять и пределы интегрирования. Преобразования в 5.2.б) выглядели бы, например, так:

В общем случае выбор замены определяется видом подынтегральной функции. В некоторых случаях рекомендуются специальные замены. Например, если в выражении присутствует иррациональность вида , то можно положить  или .

Пример 5.3 Найти: а) ; б) .

Решение. В случае а) имеем

(после замены применили табличную формулу 11)).

При решении б) обязательно проводим замену пределов интегрирования.

Ядерные реакторы

Сети