Контрольная по математике. Примеры решения задач

Контрольная по математике
Построение графика функции
Найти частные производные функции
Сложная функция
Дифференциальные уравнения
Написать первые три члена ряда
Повторные независимые испытания
Элементы линейного программирования
Дифференциальные уравнения первого порядка
Найти общее решение дифференциального уравнения
Однородные уравнения
Уравнения, приводящиеся к однородным
Линейные уравнения
Метод Лагранжа
Для решения уравнения Бернулли
Уравнения в полных дифференциалах
Уравнения вида y = f(y’) и x = f(y’).
При решении дифференциальных уравнений
Решить дифференциальное уравнение
Дифференциальные уравнения
Уравнения, допускающие понижение порядка
Уравнения, не содержащие явно независимой переменной
Линейные дифференциальные уравнения высших порядков
Уравнения с правой частью специального вида
Общее решение неоднородного дифференциального уравнения
Разностные (рекуррентные) уравнения
Разностные операторы
Алгебраическое уравнение
Теперь рассмотрим решение конкретных примеров
Доказать сходимость ряда
Найти область сходимости ряда
Уравнения математической физики
Вычислить интеграл
Теория вероятностей и математическая статистика
Формула полной вероятности
Вычисление пределов
Классификация точек разрыва
Найти производную функции
Производная по направлению и градиент
Исследование функций
Наибольшее и наименьшее значение функции
Провести полное исследование и построить график функции
Понятие об условном экстремуме функции двух переменных
Интегрирование по частям

Пример 1.4.7. Провести полное исследование и построить график функции .

Решение. Придерживаемся предложенной схемы исследования.

1. Функция определена при всех вещественных x, кроме x = -2.

2. Область определения не симметрична относительно начала координат, поэтому свойством четности или нечетности функция не обладает (заметим, что в случае симметричности области определения необходимо проверить выполнение одного из равенств: f(-x)=f(x) или f(-x)=-f(x)). Исходная функция не является и периодической.

3. Решая уравнение f(x)=0, находим, что график функции пересекает оси координат в точке (0,0).

4. В силу свойств непрерывных функций функция  непрерывна там, где определена, т.е. при всех вещественных x, кроме x = -2. Поскольку

,

то x = -2 – точка разрыва второго рода, а прямая x = -2 является вертикальной асимптотой графика. Кроме того, заметим, что , .

5. Необходимые расчеты, связанные с исследованием первой производной, были проведены при решении примера 4.1. В частности, была найдена первая производная , определены точки экстремума и значения функции в них: x = -4 – точка максимума, графику принадлежит точка (-4, f(-4)), т.е. (-4;-8); x = -4 – точка минимума, графику принадлежит точка (0, f0)), т.е. (0;0). Кроме того, из таблицы следовало, что f(x) возрастает на интервалах   и , а убывает на интервалах  и

6. Найдем теперь вторую производную:

Очевидно, что знак второй производной зависит только от знака знаменателя. При x>-2  и график направлен выпуклостью вниз, а при x>-2   и график направлен выпуклостью вверх.

7. Найдем теперь уравнение наклонной асимптоты. По первой из формул (4.1) получаем: 

(поступали так же, как при решении примера 1.1). Далее,

(аналогично). Таким образом, прямая  – наклонная асимптота.

Эскиз полученного графика приведен на рис.2.

Рис.2

4.5. Экстремумы функции двух переменных. Сразу отметим, что само определение локальных экстремумов функции  фактически не отличается от случая функции одного переменного  (только теперь точками локального экстремума будут точки вида ). Алгоритм поиска состоит в следующем.

1) Установить область определения функции.

2) Найти ее частные производные первого порядка и приравнять их к нулю, т.е. решить систему уравнений

.

Решения этой системы дадут координаты стационарных точек.

3) Найти частные производные второго порядка для исследуемой функции и вычислить их значения в найденных ранее стационарных точках вида .

4) Найти для каждой стационарной точки числовые характеристики:

  (4.2)

5) Если , то  - точка локального минимума исходной функции и ; если , то  - точка локального максимума исходной функции и ; во всех остальных случаях   не является точкой экстремума.

Пример 4.8. Найти экстремумы функции .

Решение. Функция определена при всех парах (x,y). Найдем частные производные первого порядка, приравняем их к нулю и решим систему уравнений:

;

.

Отсюда получаем, что y = -1 и x = 4.

Итак, найдена стационарная точка M(4;-1). Находим частные производные второго порядка:

;

.

В данном случае производные от x, y не зависят, поэтому и для стационарной точки M(4;-1) имеем: ; ; . В силу (.4.2) , поэтому M(4;-1) является точкой локального экстремума исходной функции. Далее, , следовательно, M(4;-1) – точка локального максимума f(x,y), и

Пример 4.9. Найти экстремумы функции , считая, что x>0 и y>0.

Решение. Область определения функции задана в условии. Найдем частные производные первого порядка: , . Далее, решаем систему уравнений (учитывая условие x>0, y>0):

Итак, определена стационарная точка M(1;1). Находим частные производные второго порядка: . Вычисляем их значения в точке M: ; . Подставляем в (4.2). Так как , то M(1;1) – точка экстремума; поскольку , то она является точкой локального минимума исходной функции и .

Дифференциальные уравнения