Контрольная по математике. Примеры решения задач

Контрольная по математике
Построение графика функции
Найти частные производные функции
Сложная функция
Дифференциальные уравнения
Написать первые три члена ряда
Повторные независимые испытания
Элементы линейного программирования
Дифференциальные уравнения первого порядка
Найти общее решение дифференциального уравнения
Однородные уравнения
Уравнения, приводящиеся к однородным
Линейные уравнения
Метод Лагранжа
Для решения уравнения Бернулли
Уравнения в полных дифференциалах
Уравнения вида y = f(y’) и x = f(y’).
При решении дифференциальных уравнений
Решить дифференциальное уравнение
Дифференциальные уравнения
Уравнения, допускающие понижение порядка
Уравнения, не содержащие явно независимой переменной
Линейные дифференциальные уравнения высших порядков
Уравнения с правой частью специального вида
Общее решение неоднородного дифференциального уравнения
Разностные (рекуррентные) уравнения
Разностные операторы
Алгебраическое уравнение
Теперь рассмотрим решение конкретных примеров
Доказать сходимость ряда
Найти область сходимости ряда
Уравнения математической физики
Вычислить интеграл
Теория вероятностей и математическая статистика
Формула полной вероятности
Вычисление пределов
Классификация точек разрыва
Найти производную функции
Производная по направлению и градиент
Исследование функций
Наибольшее и наименьшее значение функции
Провести полное исследование и построить график функции
Понятие об условном экстремуме функции двух переменных
Интегрирование по частям

Наибольшее и наименьшее значение функции одного переменного на числовом отрезке. Пусть y=f(x) – функция, определенная на отрезке [a;b]. Если f(x) непрерывна на этом отрезке, то существуют точки  и , в которых функция достигает своего максимального и минимального значений (на отрезке!). Этими точками могут быть либо внутренние критические точки (из (a;b)), либо граничные. Поэтому для отыскания наибольшего и наименьшего значения функции f(x) на числовом отрезке придерживаются следующего алгоритма.

1) Найти первую производную f’(x).

2) Найти стационарные и критические точки и выбрать те из них, которые попадают в отрезок [a;b].

3) Сравнить значения функции в найденных точках и на границах (т.е. в точках x=a, x=b), выбрать наибольшее и наименьшее значения. Характер экстремума не определять!

Пример 4.4. Найти наибольшее и наименьшее значения  на отрезке [1;4].

Решение. , причем производная определена всюду, критических точек нет. Чтобы найти стационарные точки, приравниваем производную к нулю: . Итак,  и - стационарные точки. При этом , а , поэтому последняя точка нас не интересует. Вычисляем значения исходной функции в выбранной точке и на концах отрезка: ; .

Сравнивая значения, получаем: , .

При решении задач практического характера полезно пользоваться следующим фактом.

Утверждение. Пусть функция  определена на открытом числовом интервале (a;b) и имеет на нем единственную стационарную точку . Если  - точка локального максимума, то ; если  - точка локального минимума, то

Пример 4.5. Предприятие выпускает некий товар в объеме, превосходящем 1 кг. Прибыль (в у.е.) зависит от объема выпущенного товара () и определяются формулой . Найти объем производства товара, при котором прибыль будет максимальна.

Решение. В силу условий задачи функция, максимум которой нас интересует, определена на интервале . Найдем производную этой функции и приравняем к нулю: . Решив квадратное уравнение, получим два корня: . Очевидно, что условию задачи удовлетворяет только первое значение (13>1, 1/3<1). Сравнив знаки производной слева и справа от точки , получим, что это точка максимума. Находим максимальное значение F(x) на заданном интервале:.

Итак, при объеме производства в 13 единиц прибыль будет максимальной и составит 1010 у.е.

4.3. Направления выпуклости графика функции одного переменного. Рекомендуется придерживаться следующего алгоритма:

1) Установить область определения функции .

2) Найти вторую производную .

3) Выяснить, в каких точках из области определения вторая производная обращается в нуль (т.е. решить уравнение ).

4) Установить знак второй производной на числовых интервалах, на которые найденные точки разбили область определения, и определить направления выпуклости (если , то график функции направлен выпуклостью вверх, т.е. Ç; если  - выпуклостью вниз, т.е. È).

5) Если при переходе через найденную точку  направление выпуклости меняется, то точка   называется точкой перегиба графика функции.

Пример 4.6. Найти направления выпуклости и точки перегиба графика функции .

Решение. Данная функция определена для всех действительных чисел, ее производная имеет вид , а вторая производная (она также определена при всех x). Из уравнения  находим точки: , . Составляем таблицу для числовых интервалов, определяем знак второй производной и характер выпуклости графика заданной функции. Заметим, что :

x

0

+

0

Вывод

График направлен выпуклостью вверх, Ç

5/36

График направлен выпуклостью вниз, È

5/36

График направлен выпуклостью вверх, Ç

Таким образом, точки  и  — точки перегиба.

4.4. Построение эскиза графика функции одного переменного. Полное исследование функции проводится по следующему плану.

1. Найти область определения функции y=f(x).

2. Проверить наличие у исследуемой функции дополнительных свойств (четность, нечетность, периодичность). В случае, когда, например, функция является нечетной (четной), достаточно проводить исследования и строить эскиз графика при с последующим симметричным его отображением (относительно начала координат для нечетной функции или относительно оси OY для четной).

3. Определить координаты точек пересечения графика функции с осями координат (для нахождения точки пересечения графика с осью OX решаем уравнение f(x)=0; для нахождения точки пересечения графика с осью OY подставляем в аналитическое выражение функции значение x=0).

4. Определить, где функция f(x) является непрерывной; установить точки разрыва и найти  и . Если хотя бы один из этих пределов равен бесконечности, то прямая x=a является вертикальной асимптотой графика функции.

5. Найти  и с ее помощью определить интервалы монотонности функции, точки экстремума и экстремальные значения.

6. Найти , с ее помощью определить направления выпуклости графика функции и найти точки перегиба.

7. Найти наклонные асимптоты графика. Уравнение наклонной асимптоты имеет вид y=kx+b, где k и b находятся по формулам

  (4.1)

(предполагается, что эти пределы существуют и конечны).

В некоторых случаях пределы в (4.1) приходится вычислять отдельно при  и

8. Собрать всю информацию и построить эскиз графика.

Дифференциальные уравнения