Контрольная по математике. Примеры решения задач

Контрольная по математике
Построение графика функции
Найти частные производные функции
Сложная функция
Дифференциальные уравнения
Написать первые три члена ряда
Повторные независимые испытания
Элементы линейного программирования
Дифференциальные уравнения первого порядка
Найти общее решение дифференциального уравнения
Однородные уравнения
Уравнения, приводящиеся к однородным
Линейные уравнения
Метод Лагранжа
Для решения уравнения Бернулли
Уравнения в полных дифференциалах
Уравнения вида y = f(y’) и x = f(y’).
При решении дифференциальных уравнений
Решить дифференциальное уравнение
Дифференциальные уравнения
Уравнения, допускающие понижение порядка
Уравнения, не содержащие явно независимой переменной
Линейные дифференциальные уравнения высших порядков
Уравнения с правой частью специального вида
Общее решение неоднородного дифференциального уравнения
Разностные (рекуррентные) уравнения
Разностные операторы
Алгебраическое уравнение
Теперь рассмотрим решение конкретных примеров
Доказать сходимость ряда
Найти область сходимости ряда
Уравнения математической физики
Вычислить интеграл
Теория вероятностей и математическая статистика
Формула полной вероятности
Вычисление пределов
Классификация точек разрыва
Найти производную функции
Производная по направлению и градиент
Исследование функций
Наибольшее и наименьшее значение функции
Провести полное исследование и построить график функции
Понятие об условном экстремуме функции двух переменных
Интегрирование по частям

Исследование функций

Интервалы монотонности и точки экстремума функции . Как известно, характер монотонности функции на числовом интервале (a,b) связан со знаком ее производной на этом интервале (если  при всех x из (a,b), то функция возрастает, а если   при всех x из (a,b), то убывает). Далее, пусть X – область определения функции  и . Если для всех x из некоторой окрестности точки   выполняется неравенство   (или ), то число M (m) называется локальным максимумом (локальным минимумом) функции , а сама точка  - точкой локального максимума (локального минимума). Оба числа объединяются термином «экстремум функции» (соответственно, говорят и о «точках экстремума»).

При решении задач на поиск экстремумов функции одного переменного придерживаются следующей схемы рассуждений.

1) Установить область определения функции .

2) Найти ее первую производную.

3) Выяснить, в каких точках из области определения производная обращается в нуль (т.е. решить уравнение f’(x) = 0 ) Такие точки называются стационарными. Найти значения x, при которых функция определена, а производная – нет (эти точки в дальнейшем называются критическими).

4) Определить знак производной на числовых интервалах, на которые стационарные и критические точки разбили область определения, сделать выводы о характере монотонности.

5) Если при переходе через найденную точку  производная знак не меняет, то  не является точкой экстремума; если в окрестности точки  слева от нее, а справа , то  - точка максимума исходной функции и ; если же в окрестности   слева и  справа, то  - точка минимума исходной функции и .

Пример 4.1. Найти интервалы монотонности и экстремумы функции .

Решение. Данная функция определена для всех действительных чисел, ее производная имеет вид  и также определена при всех x. Из уравнения  находим стационарные точки: , . Составляем таблицу для числовых интервалов и определяем знак производной. Для этого, наряду с другими способами, можно ограничиться вычислением значения производной в промежуточных точках полученных интервалов. Например, ,  . Считаем также значения функции в найденных точках: , . Данные собираем в таблицу, в последней строке которой указываем характер монотонности функции:

X

–1

1

0

+

0

Поведение f(x)

-2

2

Вывод

Убыв.

Т мин.

Возр.

Т. макс.

Убыв.

Итак, f возрастает на интервале , убывает на интервалах  и , имеет точку локального минимума x=-1 (при этом ) и точку локального максимума x=1 ().

Пример 4.2 Найти экстремумы функции .

Решение. Данная функция определена для всех действительных чисел, кроме x=-2. Дифференцируя частное, получаем, что . Очевидно, что производная также определена при всех x, кроме x=-2 (критическая точка). Из уравнения  находим стационарные точки: , . Составляем, как и выше, таблицу для числовых интервалов и устанавливаем знаки производной (можно заметить, что знаменатель всегда положителен, а потому знак производной зависит только от числителя). Определяем также значения функции в найденных точках и собираем данные в таблицу.

x

–4

-2

(-2,0)

0

+

0

Не сущ.

0

+

Повед.f(x)

-8

Не сущ.

0

Вывод

Возр.

Т макс.

Убыв.

Убыв.

Т. мин.

Возр.

Таким образом, x=-4 – точка локального максимума и , x=0 – точка локального минимума ().

Следует обратить внимание на то, что данный пример иллюстрирует «локальность» экстремума (в частности, оказывается, что).

Пример 4.3. Найти экстремумы функции .

Решение. Данная функция определена для всех действительных чисел, ее производная имеет вид . При этом производная не определена там, где в нуль обращается знаменатель, т.е. при x=0. Эта точка является критической. Стационарных точек нет, так как в числителе стоит постоянное число, и потому дробь не обращается в нуль. Учитывая, что знак производной совпадает со знаком , а потому и со знаком x, получаем, что слева от x=0 (там, где x<0) , а справа . Поэтому x=0 – точка минимума исходной функции, и .

Дифференциальные уравнения