Контрольная по математике. Примеры решения задач

Контрольная по математике
Построение графика функции
Найти частные производные функции
Сложная функция
Дифференциальные уравнения
Написать первые три члена ряда
Повторные независимые испытания
Элементы линейного программирования
Дифференциальные уравнения первого порядка
Найти общее решение дифференциального уравнения
Однородные уравнения
Уравнения, приводящиеся к однородным
Линейные уравнения
Метод Лагранжа
Для решения уравнения Бернулли
Уравнения в полных дифференциалах
Уравнения вида y = f(y’) и x = f(y’).
При решении дифференциальных уравнений
Решить дифференциальное уравнение
Дифференциальные уравнения
Уравнения, допускающие понижение порядка
Уравнения, не содержащие явно независимой переменной
Линейные дифференциальные уравнения высших порядков
Уравнения с правой частью специального вида
Общее решение неоднородного дифференциального уравнения
Разностные (рекуррентные) уравнения
Разностные операторы
Алгебраическое уравнение
Теперь рассмотрим решение конкретных примеров
Доказать сходимость ряда
Найти область сходимости ряда
Уравнения математической физики
Вычислить интеграл
Теория вероятностей и математическая статистика
Формула полной вероятности
Вычисление пределов
Классификация точек разрыва
Найти производную функции
Производная по направлению и градиент
Исследование функций
Наибольшее и наименьшее значение функции
Провести полное исследование и построить график функции
Понятие об условном экстремуме функции двух переменных
Интегрирование по частям

УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ № 3 

Дифференциальные уравнения

Задача 12. Решить уравнение 

 Решение. Данное уравнение является уравнением Бернулли. Для его решения (как и для линейного уравнения) искомую функцию  представим в виде произведения двух других функций:  и , то есть введем подстановку . Тогда  и данное уравнение примет вид:

 

 или

  (1)

Выберем функцию  так чтобы

  (2)

При подобном выборе функции  уравнение (1) примет вид

  или  (3) 

Решая (2) как уравнение с разделяющимися переменными, имеем :

.

Здесь произвольная постоянная С=0. Подставляя найденное значение   в уравнение (3), имеем:

 

Тогда - общее решение данного уравнения.

Задача 13. Найти частное решение уравнения , удовлетворяющее начальным условиям 

 Решение. Общее решение  данного уравнения равно сумме общего решения  однородного уравнения и какого-либо частного решения  данного уравнения, то есть

 

Для нахождения  составим характеристическое уравнение ,имеющее комплексные корни  и . В этом случае общее решение однородного уравнения ищем в виде

  (4)

Где  - комплексные корни характеристического уравнения. Подставив в (4)

 , имеем:

 .

Для нахождения частного решения  неоднородного дифференциального уравнения воспользуемся следующей теоремой: если правая часть неоднородного уравнения есть функции  и числа  не является корнями характеристического

Уравнения, то существует частное решение . Если же числа

Являются корнями характеристического уравнения, то существует частное решение

 Применяя эту теорему при имеем:

 .

Дважды дифференцируя последнее равенство, находим :

 

Подставив в данное уравнение  и , получим:

 ,

Откуда .

Следовательно,  и

 

Найдем 

 

Используя начальные условия, получим систему

,откуда

Следовательно,  есть искомое частное решение данного дифференциального уравнения.

 Вопросы для самопроверки

Что называется дифференциальным уравнением?

Что называется общим решением дифференциального уравнения? Частным решением?

Каков геометрический смысл частного решения дифференциального уравнения первого порядка?

Приведите примеры дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными.

Какое дифференциальное уравнение первого порядка называется линейным? Уравнение Бернулли? Укажите способ их решения.

Какое уравнение называется линейным дифференциальным уравнением второго порядка?

Какое уравнение называется характеристическим для однородного дифференциального уравнения второго порядка?

Какой вид имеет общее решение однородного дифференциального уравнения второго порядка в зависимости от дискриминанта характеристического уравнения?

Как найти общее решение неоднородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами?

Какой вид имеет частное решение неоднородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами, если его правая часть есть многочлен? Показательная функция? Тригонометрическая функция?

Уравнение плоскости Пусть в декартовой системе координат имеется некоторая плоскость, проходящая через точку , ее радиус-вектор будет иметь координаты . Зададим на этой же плоскости точку  с радиус-вектором . Очевидно, что вектор  также будет находиться в заданной плоскости

Примеры решения типовых задач: уравнение плоскости Задача Написать уравнение плоскости, проходящей через точку  параллельно плоскости .

Прямая в пространстве образуется пересечением двух плоскостей (если их нормали не параллельны), таким образом, прямую в пространстве можно задать системой уравнений

Дифференциальные уравнения