Контрольная по математике. Примеры решения задач

Контрольная по математике
Построение графика функции
Найти частные производные функции
Сложная функция
Дифференциальные уравнения
Написать первые три члена ряда
Повторные независимые испытания
Элементы линейного программирования
Дифференциальные уравнения первого порядка
Найти общее решение дифференциального уравнения
Однородные уравнения
Уравнения, приводящиеся к однородным
Линейные уравнения
Метод Лагранжа
Для решения уравнения Бернулли
Уравнения в полных дифференциалах
Уравнения вида y = f(y’) и x = f(y’).
При решении дифференциальных уравнений
Решить дифференциальное уравнение
Дифференциальные уравнения
Уравнения, допускающие понижение порядка
Уравнения, не содержащие явно независимой переменной
Линейные дифференциальные уравнения высших порядков
Уравнения с правой частью специального вида
Общее решение неоднородного дифференциального уравнения
Разностные (рекуррентные) уравнения
Разностные операторы
Алгебраическое уравнение
Теперь рассмотрим решение конкретных примеров
Доказать сходимость ряда
Найти область сходимости ряда
Уравнения математической физики
Вычислить интеграл
Теория вероятностей и математическая статистика
Формула полной вероятности
Вычисление пределов
Классификация точек разрыва
Найти производную функции
Производная по направлению и градиент
Исследование функций
Наибольшее и наименьшее значение функции
Провести полное исследование и построить график функции
Понятие об условном экстремуме функции двух переменных
Интегрирование по частям

Пример 3.2. Найти производную функции  в точке x=2.

Решение. Функция представляет собой частное, поэтому применяем (3.4), а также формулу производной степенной функции (для  и для ):

Вычисляем производную в заданной точке, для этого подставляем в найденное выражение значение x=2:

.

Пример 3.3. Найти дифференциал функции  в произвольной точке и в точке x=p/2.

Решение. Сначала найдем первую производную исходной функции, воспользовавшись формулами 7¢), (3.4) и 2):

Далее вычисляем производную в точке x=p/2. Поскольку  и , то. В силу (3.6) .

Пример 3.4. Найти вторую производную функции .

Решение. Сначала найдем  и обязательно упростим полученное выражение:

Теперь в силу (3.7) и 1¢) получаем:

.

3.2. Правило Лопиталя вычисления пределов. Если при вычислении пределов затруднительно использование эквивалентностей, то можно применить следующее утверждение.

Правило Лопиталя. Пусть функции f(x) и g(x) определены и дифференцируемы в окрестности точки a, а также являются одновременно бесконечно малыми (или бесконечно большими) при . Пусть, далее,  в окрестности точки a (кроме, возможно, самой точки). Если существует , то существует и , причем .

Пример 3.5. Найти с помощью правила Лопиталя: 

а) ; б)

Решение. a) В данном случае после подстановки x=0 замечаем, что и числитель, и знаменатель дроби обращаются в нуль, т.е. мы имеем дело с неопределенностью . Однако использовать замечательные пределы и перейти к эквивалентным функциям нельзя, так как в числителе – сумма. Воспользуемся правилом Лопиталя, предварительно проверив все условия.

Неопределенность  уже отмечена. Функции, стоящие в числителе и знаменателе, дифференцируемы при всех вещественных x и  при . В силу сформулированного выше утверждения, если в этом случае существует предел отношения производных, то его значение совпадет со значением искомого предела. Предположим, что это так, и проведем вычисления:

Итак,

При решении этого примера правило Лопиталя фактически было применено трижды (в тех местах, где над знаком равенства указан вид неопределенности). При этом для обеспечения строгости рассуждений необходимо каждый раз проверять условия сформулированного выше утверждения.

Рассмотрим теперь задание б). Очевидно, что здесь вообще нет эквивалнетных функций. Кроме того, при   и . Это неопределенность вида , к которой правило Лопиталя не применяется, однако можно учесть, что если f(x) – бесконечно малая при  функция, то 1/f(x) будет бесконечно большой при . Поскольку

,

то мы приходим к неопределенности  и далее действуем так, как при решении задания а). Обе функции требуемым условиям удовлетворяют, поэтому

(учтено, что ). Итак, .

Дифференциальные уравнения