Контрольная по математике. Примеры решения задач

Контрольная по математике
Построение графика функции
Найти частные производные функции
Сложная функция
Дифференциальные уравнения
Написать первые три члена ряда
Повторные независимые испытания
Элементы линейного программирования
Дифференциальные уравнения первого порядка
Найти общее решение дифференциального уравнения
Однородные уравнения
Уравнения, приводящиеся к однородным
Линейные уравнения
Метод Лагранжа
Для решения уравнения Бернулли
Уравнения в полных дифференциалах
Уравнения вида y = f(y’) и x = f(y’).
При решении дифференциальных уравнений
Решить дифференциальное уравнение
Дифференциальные уравнения
Уравнения, допускающие понижение порядка
Уравнения, не содержащие явно независимой переменной
Линейные дифференциальные уравнения высших порядков
Уравнения с правой частью специального вида
Общее решение неоднородного дифференциального уравнения
Разностные (рекуррентные) уравнения
Разностные операторы
Алгебраическое уравнение
Теперь рассмотрим решение конкретных примеров
Доказать сходимость ряда
Найти область сходимости ряда
Уравнения математической физики
Вычислить интеграл
Теория вероятностей и математическая статистика
Формула полной вероятности
Вычисление пределов
Классификация точек разрыва
Найти производную функции
Производная по направлению и градиент
Исследование функций
Наибольшее и наименьшее значение функции
Провести полное исследование и построить график функции
Понятие об условном экстремуме функции двух переменных
Интегрирование по частям

Вычисление пределов

Основные теоретические положения. Вычисление пределов опирается на свойства бесконечно малых и бесконечно больших функций и основные теоремы об арифметических действиях с пределами. Используется также один из известных замечательных пределов:

  (1.1.)

Следует учитывать и теорему о пределе сложной функции. В частности, в силу этого утверждения

  (1.2)

Пусть . При вычислении предела алгебраической суммы функций возможны ситуации:

1) если A и B – конечные числа, тогда  (по теореме о пределе алгебраической суммы);

2) если один из пределов (A или B) конечен, а другой является одним из бесконечных символов, то  (в силу свойств бесконечно больших функций);

3) в случае, когда f(x) и g(x) – бесконечно большие функции одного знака, то ; если же f(x) и g(x) – бесконечно большие функции разных знаков, то ничего конкретного (в общей ситуации) утверждать нельзя, поэтому говорят о неопределенности вида , требующей дополнительного исследования.


Вычисляя предел произведения функций, необходимо учитывать следующее:

1) если A и B – конечные числа, то  (по теореме о пределе произведения);

2) если один из пределов (A или B) конечен и отличен от нуля(!), а другой является одним из бесконечных символов, то  (по свойству бесконечно больших функций);

3) если один из пределов равен нулю, а второй является одним из бесконечных символов, то говорят о неопределенности вида .

Наконец, при вычислении пределов частного применяются такие правила:

1) если A и B – конечные числа, причем B¹0, то  (по теореме о пределе частного);

2) если A и B – конечные числа, причем A¹0, B=0, то  (так как функция 1/g(x) при этом является бесконечно большой при  и остается воспользоваться свойствами бесконечно больших функций);

3) если , а B – любое конечное число, то , а если , а А – любое конечное число, то  (в силу свойств бесконечно больших функций);

4) наконец, если A=B=0, то говорят о неопределенности вида , а если A и B – бесконечные символы, то о неопределенности вида .

1.2. Раскрытие неопределенностей вида . В данном случае в числителе и знаменателе рекомендуется вынести за скобки слагаемое, которое растет быстрее других (для многочленов, в частности, это слагаемое, имеющее старшую степень). В результате алгебраическая сумма представляется в виде произведения бесконечно большой функции на функцию, имеющую конечный и отличный от нуля предел.

Пример 1.1. Вычислить .

Решение. Предел последовательности можно рассматривать как частный случай предела функции. Очевидно, что в силу свойств бесконечно больших функций при  и . Поэтому имеем неопределенность вида . Проведем подготовительные преобразования:

.

Далее получаем:

.

Последнее равенство справедливо в силу теорем о пределе суммы и частного функций с учетом того, что все слагаемые, кроме единиц, являются бесконечно малыми (по теореме о связи между бесконечно большой и бесконечно малой функциями).

1.3. Раскрытие неопределенностей вида . Неопределенности такого вида возникают, как правило, либо при исследовании разности двух дробей (в этом случае рекомендуется приводить дроби к общему знаменателю), либо при рассмотрении разности иррациональных выражений (для избавления от иррациональностей следует преобразовать исходное выражение либо к разности квадратов, либо к сумме или разности кубов). Далее задача сводится к рассмотренной выше неопределенности вида .

Пример 1.2. Вычислить .

Решение. В данном случае, чтобы раскрыть неопределенность , необходимо умножить и разделить рассматриваемое выражение на «сопряженное», чтобы прийти к разности квадратов. Для   таким «сопряженным» является . Таким образом, получаем:

.

Таким образом, мы попали в ситуацию, разобранную при решении примера 1.1. Проведем соответствующие преобразования в знаменателе:

.

Итак, .

Дифференциальные уравнения