Контрольная по математике. Примеры решения задач

Контрольная по математике
Построение графика функции
Найти частные производные функции
Сложная функция
Дифференциальные уравнения
Написать первые три члена ряда
Повторные независимые испытания
Элементы линейного программирования
Дифференциальные уравнения первого порядка
Найти общее решение дифференциального уравнения
Однородные уравнения
Уравнения, приводящиеся к однородным
Линейные уравнения
Метод Лагранжа
Для решения уравнения Бернулли
Уравнения в полных дифференциалах
Уравнения вида y = f(y’) и x = f(y’).
При решении дифференциальных уравнений
Решить дифференциальное уравнение
Дифференциальные уравнения
Уравнения, допускающие понижение порядка
Уравнения, не содержащие явно независимой переменной
Линейные дифференциальные уравнения высших порядков
Уравнения с правой частью специального вида
Общее решение неоднородного дифференциального уравнения
Разностные (рекуррентные) уравнения
Разностные операторы
Алгебраическое уравнение
Теперь рассмотрим решение конкретных примеров
Доказать сходимость ряда
Найти область сходимости ряда
Уравнения математической физики
Вычислить интеграл
Теория вероятностей и математическая статистика
Формула полной вероятности
Вычисление пределов
Классификация точек разрыва
Найти производную функции
Производная по направлению и градиент
Исследование функций
Наибольшее и наименьшее значение функции
Провести полное исследование и построить график функции
Понятие об условном экстремуме функции двух переменных
Интегрирование по частям

Формула полной вероятности. Формула Байеса

Пример 6. Покупатель может приобрести нужный ему товар в двух мага­зинах. Вероятности обращения в каждый из магазинов зависят от их место­положения и соответственно равны 0,1 и 0,9. Вероятность того, что к при­ходу покупателя нужный ему товар не будет распродан, равна 0,8 для пер­вого магазина и 0,4 – для второго. Какова вероятность того, что покупатель приобретет нужный ему товар? Какова вероятность того, что он купил то­вар в первом магазине?

Решение. Пусть событие B – покупатель приобрел товар. Он может сде­лать это в двух магазинах. Событие  – покупатель обращается в первый ма­газин,  - во второй магазин.  и  образуют полную группу событий. P()=0,1; P()=0,9. P()+P()=1.

Вероятность того, что покупатель приобретет товар при условии, что он обратится в первый магазин: (B) =0,8

Вероятность того, что покупатель приобретет товар при условии, что он обратится во второй магазин: (B)=0,4.

Для того, чтобы найти вероятность того, что покупатель купил то­вар, применяем формулу полной вероятности:

P(B) = P() (B) + P() (B) = 0,1 0,8 + 0,9 0,4=0,44.

Покупатель приобрел товар с вероятностью 0,44. Для того, чтобы найти вероятность того, что купил его в первом магазине, применяем формулу Байеса:

Повторные независимые испытания

Формула Бернулли

Пример 7. 25% большой партии костюмов составляют костюмы 48 разме­ра. Найти наивероятнейшее число костюмов 48 размера среди серии из ше­сти отобранных наугад и вычислить соответствующую этому вероятность. Вычислить вероятность того, что среди костюмов этой серии хотя бы один будет 48 размера.

Решение. Большая партия означает, что при взятии из этой партии нескольких костюмов 48 размера, вероятность извлечь следующий костюм 48 размера остается равной p =1/4. Вероятность противоположного со­бытия q = 1 – p = 1 -1/4 = 3/4Так как отбирается n=6 костюмов, то имеем повторные независимые испытания. Найдем наивероятнейшее число костюмов 48 размера среди шести отобранных по формуле:

k целое число , .

Применим формулу Бернулли. Вероятность попадания одного ко­стюма 48 размера в серию из 6 костюмов равна:

Пусть событие A состоит в том, что среди шести костюмов хотя бы один будет 48 размера, то есть из шести костюмов будет один или два, или три, или четыре, или пять, или шесть 48 размера, то есть k=1;2;3;4;5;6.

P (A) =  (1) +  (2) + (3) + (4) + (5) +(6)

Возможно вычислить вероятность (k) (k=1,…,6) по формуле Бер­нулли, а затем применить теорему сложения вероятностей шести несовме­стимых событий. Однако, проще вычислить искомую вероятность следую­щим образом. Обозначим событие  - костюм не 48 размера, соответствует значению k=0 .Учитывая , что P( A )+P()=1 , получим :

Ответ: k наивер = 1 ; P6( 1 ) = 0,356 ; P( A ) = 0,822 .

Локальная и интегральная теоремы Лапласа

Пример 8. Предприятие выполняет в срок 70% заказов. Какова вероятность того, что из 200 заказов будут выполнены в срок :

А) ровно 140 заказов;

Б) от 130 до 150 заказов .

Решение. Будем считать, что вероятность выполнения одного заказа p=0,7 не зависит от наличия на предприятии других заказов. Тогда имеем серию n=200 повторных независимых испытаний с вероятностью выполнения одного заказа p=0,7 и не выполнения заказа q=1p =0,3.

А) Так как число испытаний велико n=200, и в срок необходимо выпол­нить ровно k =140 заказов, то применяем локальную теорему Лапласа. Находим z по формуле:

Из таблицы значений функции Гаусса находим .

По формуле находим вероятность того, что из 200 заказов выполнятся в срок ровно 140 :

Б) Для расчёта вероятности того, что из 200 заказов будут выполнены в срок : от k1= 130 до k2= 150 заказов, применяем интегральную теорему Лапласа: .

Рассчитаем значения z1, z2 по формулам:

Используя таблицу и нечётность функции Лапласа, получим:

Ф (1.45) = 0,8764; Ф (-1,54) = - 0,8764.

Тогда вероятность того, что из 200 заказов будут выполнены в срок от 130 до 150 заказов :

Ответ :

Случайные величины

Пример 9. Определить математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины Х, если распределение за­дано таблицей Таблица 3

xi

0

1

2

3

4

5

6

p(xi)

0,2

0,25

0,3

0,15

0,06

0,03

0,01

Решение.  значит, имеем закон распределения дискретной случайной величины.

Найдем математическое ожидание М(Х) по формуле:

Найдем дисперсию D(X) по формуле: D(X)=M(X2)-(M(X))2

Среднее квадратическое отклонение .

Дифференциальные уравнения