Контрольная по математике. Примеры решения задач

Контрольная по математике
Построение графика функции
Найти частные производные функции
Сложная функция
Дифференциальные уравнения
Написать первые три члена ряда
Повторные независимые испытания
Элементы линейного программирования
Дифференциальные уравнения первого порядка
Найти общее решение дифференциального уравнения
Однородные уравнения
Уравнения, приводящиеся к однородным
Линейные уравнения
Метод Лагранжа
Для решения уравнения Бернулли
Уравнения в полных дифференциалах
Уравнения вида y = f(y’) и x = f(y’).
При решении дифференциальных уравнений
Решить дифференциальное уравнение
Дифференциальные уравнения
Уравнения, допускающие понижение порядка
Уравнения, не содержащие явно независимой переменной
Линейные дифференциальные уравнения высших порядков
Уравнения с правой частью специального вида
Общее решение неоднородного дифференциального уравнения
Разностные (рекуррентные) уравнения
Разностные операторы
Алгебраическое уравнение
Теперь рассмотрим решение конкретных примеров
Доказать сходимость ряда
Найти область сходимости ряда
Уравнения математической физики
Вычислить интеграл
Теория вероятностей и математическая статистика
Формула полной вероятности
Вычисление пределов
Классификация точек разрыва
Найти производную функции
Производная по направлению и градиент
Исследование функций
Наибольшее и наименьшее значение функции
Провести полное исследование и построить график функции
Понятие об условном экстремуме функции двух переменных
Интегрирование по частям

Пример 2. Вычислить интеграл  где l:

а) отрезок прямой от точки 0 до точки 1+2i;

б) дуга параболы y=2x2 от точки 0 до точки 1+2i.

Решение. Так как l - отрезок прямой y=2x (рис. 2) и Imz=y, то

 

Так как для всех точек l имеем y=2x2, то (рис. 3)

Пример 3. Найти оригинал x(t) по заданному изображению X(p), где

Решение. Разложим дробь на простейшие дроби:

Поэтому  Полагая в этом тождестве последовательно р=-1, р=0 и приравнивая коэффициенты при р2, находим: 2А=3; 3А+С=2; А+В=1, откуда A=3/2, B=-1/2, C=1/2.Таким образом, получаем:

Перейдем от изображений к оригиналам, используя таблицу 2:

Пример 4. Найти частное решение дифференциального уравнения, удовле­творяющее начальным условиям: x//-2x/+2x=2t-2, x(0)=x/(0)=0.

Решение. Пусть x(t)X(p). По теореме о дифференцировании оригинала получаем изображения производных функции x(t):

x/(t)рX(p)-x(0)=рX(p),

x//(t)р2X(p)-px(0)-x/(0)=р2X(p).

Так как ,

то приходим к операторному уравнению

,

из которого находим изображение X(p) частного решения дифференциаль­ного уравнения:

Методом неопределенных коэффициентов находим разложение этой дроби в виде суммы дробей, являющихся оригиналами элементарных функций:

Следовательно,

Дифференциальные уравнения