Контрольная по математике. Примеры решения задач

Контрольная по математике
Построение графика функции
Найти частные производные функции
Сложная функция
Дифференциальные уравнения
Написать первые три члена ряда
Повторные независимые испытания
Элементы линейного программирования
Дифференциальные уравнения первого порядка
Найти общее решение дифференциального уравнения
Однородные уравнения
Уравнения, приводящиеся к однородным
Линейные уравнения
Метод Лагранжа
Для решения уравнения Бернулли
Уравнения в полных дифференциалах
Уравнения вида y = f(y’) и x = f(y’).
При решении дифференциальных уравнений
Решить дифференциальное уравнение
Дифференциальные уравнения
Уравнения, допускающие понижение порядка
Уравнения, не содержащие явно независимой переменной
Линейные дифференциальные уравнения высших порядков
Уравнения с правой частью специального вида
Общее решение неоднородного дифференциального уравнения
Разностные (рекуррентные) уравнения
Разностные операторы
Алгебраическое уравнение
Теперь рассмотрим решение конкретных примеров
Доказать сходимость ряда
Найти область сходимости ряда
Уравнения математической физики
Вычислить интеграл
Теория вероятностей и математическая статистика
Формула полной вероятности
Вычисление пределов
Классификация точек разрыва
Найти производную функции
Производная по направлению и градиент
Исследование функций
Наибольшее и наименьшее значение функции
Провести полное исследование и построить график функции
Понятие об условном экстремуме функции двух переменных
Интегрирование по частям

Решение типового варианта

Пример 1. Доказать сходимость ряда  и найти его cумму.

Решение. Общий член данного ряда  представим в виде сум­мы простейших дробей:  

2n+1=An(n+1)2 + B(n+1)2 + Cn2(n+1) + Dn2,

поэтому  Найдем сумму первых n членов ряда:

Далее вычислим сумму ряда:  

т.е. ряд сходится и его сумма S = 1.

Пример 2. Исследовать на сходимость указанные ряды с положительными членами.

Решение. Воспользуемся признаком Д’Аламбера. Имеем:

 

Решение. Согласно методу Коши, имеем:  

т.е. данный ряд сходится.

Решение. Воспользуемся интегральным признаком Коши. Для этого исследуем несобственный интеграл:

Поскольку данный интеграл сходится, то сходится и исследуемый ряд.

Решение. Исследуем данный ряд с помощью предельного признака срав­нения. Имеем В качестве ряда, с которым будем сравнивать исходный ряд, возьмем гармонический расходящийся ряд с общим членом

. Тогда, используя первый замечательный предел, имеем

Исследуемый ряд расходится.

Решение. Для этого ряда необходимый признак сходимости рядов

 не выполняется. Действительно,

т.е. исходный ряд расходится.

Пример 3. Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость

знакочередующийся ряд  

Решение. Воспользуемся признаком Лейбница. Имеем:

т.е. данный ряд сходится.

Исследуем ряд, составленный из абсолютных величин членов исходного ряда:  . Применим признак Д’Аламбера:

т.е. ряд  сходится. Исходный ряд абсолютно сходится.

Дифференциальные уравнения