Контрольная по математике. Примеры решения задач

Практическое занятие № 2

Тема: Сложная функция нескольких переменных и ее дифференцирование. Полный дифференциал

Цель занятия. Научить студентов дифференцировать сложные функции двух переменных, находить частные и полные производные, полные дифференциалы.

Порядок проведения:

ответить на контрольные вопросы;

разобрать предложенные примеры;

выполнить самостоятельно задания.

Студент должен:

знать: определение сложной функции двух переменных и формулы нахождения частных и полных производных, определение дифференциала функции нескольких переменных;

уметь: находить частные и полные производные сложных функций двух переменных, дифференциалы функций двух и трех переменных.

Указание 1

Если  - дифференцируемая функция аргументов x и y, а x и y – дифференцируемые функции аргумента t: , , то производная сложной функции   находится по формуле

Пример. Дано , где , . Найти .

Решение. Находим производные

, .

Находим частные производные

, .

По данной формуле имеем

Указание 2

Если  - дифференцируемая функция аргументов u и v, а u и v в свою очередь, являются функциями аргументов x и y:

,

и имеют конечные частные производные по этим аргументам, то частные производные сложной функции  находятся по формулам

,

.

Пример. Найти частные производные сложной функции

, где , .

Решение. Найдем частные производные

 и ;

частные производные

, , , .

По данным в указании формулам получаем

Задание

Для заданных сложных функций найти производные :

1. , , .

2. , , .

3. , , .

4. , , .

Для заданных сложных функций найти и  и :

5. , .

6. , .

7. , .

Для заданных сложных функций найти :

8. , , , .

9. , , .

Ответы

1. .

2.

3. .

4. 0.

5. , .

6. , .

7. .

8. .

9. .

Полный дифференциал дифференцируемой функции  есть выражение вида .

Пример. Найти полный дифференциал функции .

Решение.

Находим частные производные

,

.

По данной в указании формуле получаем

Элементы линейной алгебры Определители второго порядка

В учебном пособии приводятся способы нахождения точных решений различных типов дифференциальных уравнений с частными производными второго порядка и методы приближенных решений обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений с частными производными. Каждый раздел пособия содержит теоретическое описание метода, образцы решения задач и набор задач для самостоятельного решения. Даются три типовых расчета: по методам решений дифференциальных уравнений с частными производными, а также по приближенным  и вариационным методам. Теоретические выкладки снабжены практическими примерами. 

Вычислить площадь параллелограмма, две стороны которого образованы векторами , , .

Аналитическая геометрия Уравнение линии Рассмотрим декартовую систему координат на плоскости.

Примеры решения типовых задач: прямая на плоскости Задача Составить общее уравнение прямой, проходящей через точки (1,2) и (-2,3).

Дифференциальные уравнения