Контрольная по математике. Примеры решения задач

Контрольная по математике
Построение графика функции
Найти частные производные функции
Сложная функция
Дифференциальные уравнения
Написать первые три члена ряда
Повторные независимые испытания
Элементы линейного программирования
Дифференциальные уравнения первого порядка
Найти общее решение дифференциального уравнения
Однородные уравнения
Уравнения, приводящиеся к однородным
Линейные уравнения
Метод Лагранжа
Для решения уравнения Бернулли
Уравнения в полных дифференциалах
Уравнения вида y = f(y’) и x = f(y’).
При решении дифференциальных уравнений
Решить дифференциальное уравнение
Дифференциальные уравнения
Уравнения, допускающие понижение порядка
Уравнения, не содержащие явно независимой переменной
Линейные дифференциальные уравнения высших порядков
Уравнения с правой частью специального вида
Общее решение неоднородного дифференциального уравнения
Разностные (рекуррентные) уравнения
Разностные операторы
Алгебраическое уравнение
Теперь рассмотрим решение конкретных примеров
Доказать сходимость ряда
Найти область сходимости ряда
Уравнения математической физики
Вычислить интеграл
Теория вероятностей и математическая статистика
Формула полной вероятности
Вычисление пределов
Классификация точек разрыва
Найти производную функции
Производная по направлению и градиент
Исследование функций
Наибольшее и наименьшее значение функции
Провести полное исследование и построить график функции
Понятие об условном экстремуме функции двух переменных
Интегрирование по частям

Практическое занятие № 2

Тема: Сложная функция нескольких переменных и ее дифференцирование. Полный дифференциал

Цель занятия. Научить студентов дифференцировать сложные функции двух переменных, находить частные и полные производные, полные дифференциалы.

Порядок проведения:

ответить на контрольные вопросы;

разобрать предложенные примеры;

выполнить самостоятельно задания.

Студент должен:

знать: определение сложной функции двух переменных и формулы нахождения частных и полных производных, определение дифференциала функции нескольких переменных;

уметь: находить частные и полные производные сложных функций двух переменных, дифференциалы функций двух и трех переменных.

Указание 1

Если  - дифференцируемая функция аргументов x и y, а x и y – дифференцируемые функции аргумента t: , , то производная сложной функции   находится по формуле

Пример. Дано , где , . Найти .

Решение. Находим производные

, .

Находим частные производные

, .

По данной формуле имеем

Указание 2

Если  - дифференцируемая функция аргументов u и v, а u и v в свою очередь, являются функциями аргументов x и y:

,

и имеют конечные частные производные по этим аргументам, то частные производные сложной функции  находятся по формулам

,

.

Пример. Найти частные производные сложной функции

, где , .

Решение. Найдем частные производные

 и ;

частные производные

, , , .

По данным в указании формулам получаем

Задание

Для заданных сложных функций найти производные :

1. , , .

2. , , .

3. , , .

4. , , .

Для заданных сложных функций найти и  и :

5. , .

6. , .

7. , .

Для заданных сложных функций найти :

8. , , , .

9. , , .

Ответы

1. .

2.

3. .

4. 0.

5. , .

6. , .

7. .

8. .

9. .

Полный дифференциал дифференцируемой функции  есть выражение вида .

Пример. Найти полный дифференциал функции .

Решение.

Находим частные производные

,

.

По данной в указании формуле получаем

Элементы линейной алгебры Определители второго порядка

В учебном пособии приводятся способы нахождения точных решений различных типов дифференциальных уравнений с частными производными второго порядка и методы приближенных решений обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений с частными производными. Каждый раздел пособия содержит теоретическое описание метода, образцы решения задач и набор задач для самостоятельного решения. Даются три типовых расчета: по методам решений дифференциальных уравнений с частными производными, а также по приближенным  и вариационным методам. Теоретические выкладки снабжены практическими примерами. 

Вычислить площадь параллелограмма, две стороны которого образованы векторами , , .

Аналитическая геометрия Уравнение линии Рассмотрим декартовую систему координат на плоскости.

Примеры решения типовых задач: прямая на плоскости Задача Составить общее уравнение прямой, проходящей через точки (1,2) и (-2,3).

Дифференциальные уравнения