Контрольная по математике. Примеры решения задач

Контрольная по математике
Построение графика функции
Найти частные производные функции
Сложная функция
Дифференциальные уравнения
Написать первые три члена ряда
Повторные независимые испытания
Элементы линейного программирования
Дифференциальные уравнения первого порядка
Найти общее решение дифференциального уравнения
Однородные уравнения
Уравнения, приводящиеся к однородным
Линейные уравнения
Метод Лагранжа
Для решения уравнения Бернулли
Уравнения в полных дифференциалах
Уравнения вида y = f(y’) и x = f(y’).
При решении дифференциальных уравнений
Решить дифференциальное уравнение
Дифференциальные уравнения
Уравнения, допускающие понижение порядка
Уравнения, не содержащие явно независимой переменной
Линейные дифференциальные уравнения высших порядков
Уравнения с правой частью специального вида
Общее решение неоднородного дифференциального уравнения
Разностные (рекуррентные) уравнения
Разностные операторы
Алгебраическое уравнение
Теперь рассмотрим решение конкретных примеров
Доказать сходимость ряда
Найти область сходимости ряда
Уравнения математической физики
Вычислить интеграл
Теория вероятностей и математическая статистика
Формула полной вероятности
Вычисление пределов
Классификация точек разрыва
Найти производную функции
Производная по направлению и градиент
Исследование функций
Наибольшее и наименьшее значение функции
Провести полное исследование и построить график функции
Понятие об условном экстремуме функции двух переменных
Интегрирование по частям

Алгебраическое уравнение «n» порядка относительно переменной q.

Рассмотрим следующие случаи для построения Фундаментальная система решений(ф.д.м.)

1)  -различные вещественные корни

Ф.С.Р,

2) Среди вещественных корней есть кратные qi-кратность ri

соответствующие частные решения

3) Если

модуль комплексного числа

аргумент комплексного числа

тригометрическая формула комплексного числа

два частных решения

4. Если -корни кратности «r», то получаем «2r» частных решений:

Заметим, что в любом случае Ф.С.Р. состоит из «n» частных решений

Тогда общее решение однородных уравнений:

Пример:

y(k+5)+2y(k+4)-y(k+3)+4y(k+2)-2y(k+1)+4y(k)=0

Составим характеристическое уравнение:

разложим на многочлен

Корни характеристического уравнения

q=1 (кратность 2)

q=-2 

Ф.С.Р.

Общее решение:

Решение линейных разностных уравнении с постоянными коэффициентами

Пусть дано уравнение:

(1)  

,

И соответствуюшее ему однородное уравнение

(2) 

Как уже отмечалось, общее решение уравнения (1) можно представить в виде

 где

- общее решение однородного уравнения (2);

- частное решение уравнения (1)

 Заметим, что справедливо так же теорема о суперпозиции решений; если

-решение уравнения

-решение уравнения

, то

- решение уравнения

Нахождение частного решения линейного неоднородного разностного уравнения n-го порядка по виду правой части.

(1) Известные числа

 b-известно

Вид частного решения :

-неизвестные коэффициенты

Сравним b с корнями характеристического уравнения:

если 

появляется множитель 

(2) 

коэффициенты многочленов b- известно  и 

- степени многочленов

Обозначим

частное решение имеет вид:

коэффициент многочленов степени «m» нам неизвестены коэффициенты

Если среди корней характеристического уравнения нет комплексных, то r=0.

Пусть среди корней есть комплексные крайности «r»

Найдем 

Запишем показательную формулу этого числа

 

Сравним два числа:

  и 

если , то r=0

если , то появится множитель

Пусть имеем некоторое линейное неоднородное разностное уравнение второго порядка.

Сначала составим характеристическое уравнение для соответствующего однородного и найдем его корни

Корни 

1. Запишем:  в=1, m=0 ( cстепень ногочлена)

если  , то

, то 

, то

2.  в=5; m=0

 1) если , то

 2) если , то

 3) если , то

3.

Запишем:  

 1) , то 

 2) , то 

4. 

 1) , то 

 2), то 

5. 

Запишем:  

1 Если то

 

 2)если 

 6.  

 1) если , то

 

 2)если 

 

Дифференциальные уравнения