Контрольная по математике. Примеры решения задач

Контрольная по математике
Построение графика функции
Найти частные производные функции
Сложная функция
Дифференциальные уравнения
Написать первые три члена ряда
Повторные независимые испытания
Элементы линейного программирования
Дифференциальные уравнения первого порядка
Найти общее решение дифференциального уравнения
Однородные уравнения
Уравнения, приводящиеся к однородным
Линейные уравнения
Метод Лагранжа
Для решения уравнения Бернулли
Уравнения в полных дифференциалах
Уравнения вида y = f(y’) и x = f(y’).
При решении дифференциальных уравнений
Решить дифференциальное уравнение
Дифференциальные уравнения
Уравнения, допускающие понижение порядка
Уравнения, не содержащие явно независимой переменной
Линейные дифференциальные уравнения высших порядков
Уравнения с правой частью специального вида
Общее решение неоднородного дифференциального уравнения
Разностные (рекуррентные) уравнения
Разностные операторы
Алгебраическое уравнение
Теперь рассмотрим решение конкретных примеров
Доказать сходимость ряда
Найти область сходимости ряда
Уравнения математической физики
Вычислить интеграл
Теория вероятностей и математическая статистика
Формула полной вероятности
Вычисление пределов
Классификация точек разрыва
Найти производную функции
Производная по направлению и градиент
Исследование функций
Наибольшее и наименьшее значение функции
Провести полное исследование и построить график функции
Понятие об условном экстремуме функции двух переменных
Интегрирование по частям

Разностные операторы

Пример

 

Сетка

Взаимно однозначное соответствие

  или

Разностные первого порядка

Определение- Δ правые разности первого порядка

Вычислим все первые разности в нашем примере:

Δ

 Δ

 Δ

 Δ

Рассмотрим свойства разности первого порядка

1. Свойство линейности

ΔС1ΔYk+C2ΔZk

Доказательство:

2.

Проверим в нашем примере

Разности второго порядка

- правые разности второго порядка

Выведем функцию для вычисления

Формула для вычисления разности второго порядка

Вычислим разности второго порядка в нашем примере

Разности третьего порядка

Определение: 

Вычисления:

Формула для вычисления

В нашем примере

Аналогично получаем разности «n»-ого порядка

В нашем примере:

Общая формула для разности четвёртого порядка:

Линейные обыкновенные разностные уравнения

Линейным разностным уравнением “n” порядка относительно неизвестной сеточной функции называется уравнение вида:

f(k), известные сеточные функции

y (k) – неизвестная функция

На примере уравнения второго порядка:

  f(k)=ek

Используя определения разности второго и первого порядка и преобразуем левую часть уравнения:

Уравнения  может быть приведено к уравнению вида ( линейное неоднородное разностное уравнение):

1.

-известные функции

y(k)-неизвестная функция

Линейное однородное разностное уравнение имеет вид:

2.

ПримечаниеПорядок уравнения определяется максимальным количеством узлов сетки, входящих в неизвестную функцию y(k+n), начинается с номера(k+1)

Решением разностного уравнения (1) называется сеточная функция у=у(k) , которая удовлетворяет данному уравнению

Пример:

Проверим, что функция

Решение этого уравнения

и подставим в левую часть

Начальные условия для разностных уравнений:

(*)

Общим решением уравнения (1) называется сеточная функцияпроизвольные постоянные, при этом

при н.у (*)

 - решение уравнения (1)-это частное решение

В однородном уравнении индексы у разностных функций могут быть произвольным образом смещены на “m” шагов

Например:

Решение линейных разностных однородных уравнений с постоянными коэффициентами

(2)

y(k)- неизвестная функция

Ищем частное решение в виде  -неизвестная функция

- неизвестное число 

Подставляем теперь в правую часть (2)

 

 характеристическое уравнение

Дифференциальные уравнения