Контрольная по математике. Примеры решения задач

Лекции
Физика

Контрольная

На главную
Электротехника

Разностные операторы

Пример

 

Сетка

Взаимно однозначное соответствие

  или

Разностные первого порядка

Определение- Δ правые разности первого порядка

Вычислим все первые разности в нашем примере:

Δ

 Δ

 Δ

 Δ

Рассмотрим свойства разности первого порядка

1. Свойство линейности

ΔС1ΔYk+C2ΔZk

Доказательство:

2.

Проверим в нашем примере

Разности второго порядка

- правые разности второго порядка

Выведем функцию для вычисления

Формула для вычисления разности второго порядка

Вычислим разности второго порядка в нашем примере

Разности третьего порядка

Определение: 

Вычисления:

Формула для вычисления

В нашем примере

Аналогично получаем разности «n»-ого порядка

В нашем примере:

Общая формула для разности четвёртого порядка:

Линейные обыкновенные разностные уравнения

Линейным разностным уравнением “n” порядка относительно неизвестной сеточной функции называется уравнение вида:

f(k), известные сеточные функции

y (k) – неизвестная функция

На примере уравнения второго порядка:

  f(k)=ek

Используя определения разности второго и первого порядка и преобразуем левую часть уравнения:

Уравнения  может быть приведено к уравнению вида ( линейное неоднородное разностное уравнение):

1.

-известные функции

y(k)-неизвестная функция

Линейное однородное разностное уравнение имеет вид:

2.

ПримечаниеПорядок уравнения определяется максимальным количеством узлов сетки, входящих в неизвестную функцию y(k+n), начинается с номера(k+1)

Решением разностного уравнения (1) называется сеточная функция у=у(k) , которая удовлетворяет данному уравнению

Пример:

Проверим, что функция

Решение этого уравнения

и подставим в левую часть

Начальные условия для разностных уравнений:

(*)

Общим решением уравнения (1) называется сеточная функцияпроизвольные постоянные, при этом

при н.у (*)

 - решение уравнения (1)-это частное решение

В однородном уравнении индексы у разностных функций могут быть произвольным образом смещены на “m” шагов

Например:

Решение линейных разностных однородных уравнений с постоянными коэффициентами

(2)

y(k)- неизвестная функция

Ищем частное решение в виде  -неизвестная функция

- неизвестное число 

Подставляем теперь в правую часть (2)

 

 характеристическое уравнение

Ядерные реакторы

Сети