Контрольная по математике. Примеры решения задач

Контрольная по математике
Построение графика функции
Найти частные производные функции
Сложная функция
Дифференциальные уравнения
Написать первые три члена ряда
Повторные независимые испытания
Элементы линейного программирования
Дифференциальные уравнения первого порядка
Найти общее решение дифференциального уравнения
Однородные уравнения
Уравнения, приводящиеся к однородным
Линейные уравнения
Метод Лагранжа
Для решения уравнения Бернулли
Уравнения в полных дифференциалах
Уравнения вида y = f(y’) и x = f(y’).
При решении дифференциальных уравнений
Решить дифференциальное уравнение
Дифференциальные уравнения
Уравнения, допускающие понижение порядка
Уравнения, не содержащие явно независимой переменной
Линейные дифференциальные уравнения высших порядков
Уравнения с правой частью специального вида
Общее решение неоднородного дифференциального уравнения
Разностные (рекуррентные) уравнения
Разностные операторы
Алгебраическое уравнение
Теперь рассмотрим решение конкретных примеров
Доказать сходимость ряда
Найти область сходимости ряда
Уравнения математической физики
Вычислить интеграл
Теория вероятностей и математическая статистика
Формула полной вероятности
Вычисление пределов
Классификация точек разрыва
Найти производную функции
Производная по направлению и градиент
Исследование функций
Наибольшее и наименьшее значение функции
Провести полное исследование и построить график функции
Понятие об условном экстремуме функции двух переменных
Интегрирование по частям

Линейные дифференциальные уравнения высших порядков.

 Линейные однородные дифференциальные уравнения с произвольными коэффициентами.

 Рассмотрим уравнение вида

 Определение. Выражение  называется линейным дифференциальным оператором.

 Линейный дифференциальный оператор обладает следующими свойствами:

 1)

 2)

Решения линейного однородного уравнения обладают следующими свойствами:

 1) Если функция у1 является решением уравнения, то функция Су1, где С – постоянное число, также является его решением.

 2) Если функции у1 и у2 являются решениями уравнения, то у1 +у2 также является его решением.

 Общее решение линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка.

 Из вышеизложенного видно, что отыскание общего решения линейного однородного дифференциального уравнения сводится к нахождению его фундаментальной системы решений.

 Однако, даже для уравнения второго порядка, если коэффициенты р зависят от х, эта задача не может быть решена в общем виде.

 Тем не менее, если известно одно ненулевое частное решение, то задача может быть решена.

 Теорема. Если задано уравнение вида  и известно одно ненулевое решение у = у1, то общее решение может быть найдено по формуле:

 Таким образом, для получения общего решения надо подобрать какое – либо частное решение дифференциального уравнения, хотя это бывает часто довольно сложно.

Линейные однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами.

 Решение дифференциального уравнения вида  или, короче,  будем искать в виде , где k = const.

 Т.к.  то

При этом многочлен  называется характеристическим многочленом дифференциального уравнения.

 Для того, чтобы функция  являлась решением исходного дифференциального уравнения, необходимо и достаточно, чтобы

 т.е.

 Т.к. ekx ¹ 0, то   - это уравнение называется характеристическим уравнением.

 Как и любое алгебраическое уравнение степени n, характеристическое уравнение  имеет n корней. Каждому корню характеристического уравнения ki соответствует решение дифференциального уравнения.

 В зависимости от коэффициентов k характеристическое уравнение может иметь либо n различных действительных корней, либо среди действительных корней могут быть кратные корни, могут быть комплексно – сопряженные корни, как различные, так и кратные.

 Не будем подробно рассматривать каждый случай, а сформулируем общее правило нахождения решения линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами.

 1) Составляем характеристическое уравнение и находим его корни.

 2) Находим частные решения дифференциального уравнения, причем:

 a) каждому действительному корню соответствует решение ekx;

б) каждому действительному корню кратности m ставится в соответствие m решений:

 

в) каждой паре комплексно – сопряженных корней  характеристического уравнение ставится в соответствие два решения:

  и .

г) каждой паре m – кратных комплексно – сопряженных корней  характеристического уравнения ставится в соответствие 2m решений:

 

 3) Составляем линейную комбинацию найденных решений.

Эта линейная комбинация и будет являться общим решением исходного линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами.

 Пример. Решить уравнение .

Составим характеристическое уравнение:

Общее решение имеет вид:

 Пример. Решить уравнение

Это линейное однородное дифференциальное уравнение с переменными коэффициентами второго порядка. Для нахождения общего решения необходимо отыскать какое - либо частное решение.

 Таким частным решением будет являться функция

Исходное дифференциальное уравнение можно преобразовать:

Общее решение имеет вид:

Окончательно:

 Пример. Решить уравнение

Составим характеристическое уравнение:

 Общее решение:

 Пример. Решить уравнение

Характеристическое уравнение:

Общее решение:

 Пример. Решить уравнение

Характеристическое уравнение:

 

Общее решение:

 Пример. Решить уравнение

Характеристическое уравнение:

Общее решение:

 Пример. Решить уравнение

Характеристическое уравнение:

Общее решение:

 Пример. Решить уравнение

Характеристическое уравнение:

Общее решение:

 Пример. Решить уравнение

Это уравнение не является линейным, следовательно, приведенный выше метод решения к нему неприменим.

 Понизим порядок уравнения с помощью подстановки

Тогда

Окончательно получаем:

Это выражение будет общим решением исходного дифференциального уравнения. Полученное выше решение у1 = С1 получается из общего решения при С = 0.

 Пример. Решить уравнение

Производим замену переменной:

Общее решение:

Дифференциальные уравнения