Контрольная по математике. Примеры решения задач

Лекции
Физика

Контрольная

На главную
Электротехника

Линейные дифференциальные уравнения высших порядков.

 Линейные однородные дифференциальные уравнения с произвольными коэффициентами.

 Рассмотрим уравнение вида

 Определение. Выражение  называется линейным дифференциальным оператором.

 Линейный дифференциальный оператор обладает следующими свойствами:

 1)

 2)

Решения линейного однородного уравнения обладают следующими свойствами:

 1) Если функция у1 является решением уравнения, то функция Су1, где С – постоянное число, также является его решением.

 2) Если функции у1 и у2 являются решениями уравнения, то у1 +у2 также является его решением.

 Общее решение линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка.

 Из вышеизложенного видно, что отыскание общего решения линейного однородного дифференциального уравнения сводится к нахождению его фундаментальной системы решений.

 Однако, даже для уравнения второго порядка, если коэффициенты р зависят от х, эта задача не может быть решена в общем виде.

 Тем не менее, если известно одно ненулевое частное решение, то задача может быть решена.

 Теорема. Если задано уравнение вида  и известно одно ненулевое решение у = у1, то общее решение может быть найдено по формуле:

 Таким образом, для получения общего решения надо подобрать какое – либо частное решение дифференциального уравнения, хотя это бывает часто довольно сложно.

Линейные однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами.

 Решение дифференциального уравнения вида  или, короче,  будем искать в виде , где k = const.

 Т.к.  то

При этом многочлен  называется характеристическим многочленом дифференциального уравнения.

 Для того, чтобы функция  являлась решением исходного дифференциального уравнения, необходимо и достаточно, чтобы

 т.е.

 Т.к. ekx ¹ 0, то   - это уравнение называется характеристическим уравнением.

 Как и любое алгебраическое уравнение степени n, характеристическое уравнение  имеет n корней. Каждому корню характеристического уравнения ki соответствует решение дифференциального уравнения.

 В зависимости от коэффициентов k характеристическое уравнение может иметь либо n различных действительных корней, либо среди действительных корней могут быть кратные корни, могут быть комплексно – сопряженные корни, как различные, так и кратные.

 Не будем подробно рассматривать каждый случай, а сформулируем общее правило нахождения решения линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами.

 1) Составляем характеристическое уравнение и находим его корни.

 2) Находим частные решения дифференциального уравнения, причем:

 a) каждому действительному корню соответствует решение ekx;

б) каждому действительному корню кратности m ставится в соответствие m решений:

 

в) каждой паре комплексно – сопряженных корней  характеристического уравнение ставится в соответствие два решения:

  и .

г) каждой паре m – кратных комплексно – сопряженных корней  характеристического уравнения ставится в соответствие 2m решений:

 

 3) Составляем линейную комбинацию найденных решений.

Эта линейная комбинация и будет являться общим решением исходного линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами.

 Пример. Решить уравнение .

Составим характеристическое уравнение:

Общее решение имеет вид:

 Пример. Решить уравнение

Это линейное однородное дифференциальное уравнение с переменными коэффициентами второго порядка. Для нахождения общего решения необходимо отыскать какое - либо частное решение.

 Таким частным решением будет являться функция

Исходное дифференциальное уравнение можно преобразовать:

Общее решение имеет вид:

Окончательно:

 Пример. Решить уравнение

Составим характеристическое уравнение:

 Общее решение:

 Пример. Решить уравнение

Характеристическое уравнение:

Общее решение:

 Пример. Решить уравнение

Характеристическое уравнение:

 

Общее решение:

 Пример. Решить уравнение

Характеристическое уравнение:

Общее решение:

 Пример. Решить уравнение

Характеристическое уравнение:

Общее решение:

 Пример. Решить уравнение

Характеристическое уравнение:

Общее решение:

 Пример. Решить уравнение

Это уравнение не является линейным, следовательно, приведенный выше метод решения к нему неприменим.

 Понизим порядок уравнения с помощью подстановки

Тогда

Окончательно получаем:

Это выражение будет общим решением исходного дифференциального уравнения. Полученное выше решение у1 = С1 получается из общего решения при С = 0.

 Пример. Решить уравнение

Производим замену переменной:

Общее решение:

Ядерные реакторы

Сети