Контрольная по математике. Примеры решения задач

Лекции
Физика

Контрольная

На главную
Электротехника

Дифференциальные уравнения высших порядков.

 Уравнения, допускающие понижение порядка.

 Понижение порядка дифференциального уравнения – основной метод решения уравнений высших порядков. Этот метод дает возможность сравнительно легко находить решение, однако, он применим далеко не ко всем уравнениям. Рассмотрим случаи, когда возможно понижение порядка.

Уравнения вида y(n) = f(x).

 Если f(x) – функция непрерывная на некотором промежутке a < x < b, то решение может быть найдено последовательным интегрированием.

…………………………………………………………….

 Пример. Решить уравнение  с начальными условиями x0 = 0; y0 = 1;

 Подставим начальные условия:

 Получаем частное решение (решение задачи Коши): .

 Ниже показана интегральная кривая данного дифференциального уравнения.

Уравнения, не содержащие явно искомой функции и ее производных до порядка k – 1 включительно.

Это уравнения вида:

В уравнениях такого типа возможно понижение порядка на k единиц. Для этого производят замену переменной:

Тогда получаем:

 Теперь допустим, что полученное дифференциальное уравнение проинтегрировано и совокупность его решений выражается соотношением:

Делая обратную подстановку, имеем:

Интегрируя полученное соотношение последовательно k раз, получаем окончательный ответ:

 Пример. Найти общее решение уравнения .

Применяем подстановку

Произведя обратную замену, получаем:

Общее решение исходного дифференциального уравнения:

 Отметим, что это соотношение является решением для всех значений переменной х кроме значения х =0.

Пример. Методом сеток найти решения задачи

Метод прогонки для уравнения теплопроводности

Решение уравнения движения грунта Пусть одномерное перемещение частиц пластически сжимаемого грунта происходит параллельно оси x

Ядерные реакторы

Сети