Контрольная по математике. Примеры решения задач

Контрольная по математике
Построение графика функции
Найти частные производные функции
Сложная функция
Дифференциальные уравнения
Написать первые три члена ряда
Повторные независимые испытания
Элементы линейного программирования
Дифференциальные уравнения первого порядка
Найти общее решение дифференциального уравнения
Однородные уравнения
Уравнения, приводящиеся к однородным
Линейные уравнения
Метод Лагранжа
Для решения уравнения Бернулли
Уравнения в полных дифференциалах
Уравнения вида y = f(y’) и x = f(y’).
При решении дифференциальных уравнений
Решить дифференциальное уравнение
Дифференциальные уравнения
Уравнения, допускающие понижение порядка
Уравнения, не содержащие явно независимой переменной
Линейные дифференциальные уравнения высших порядков
Уравнения с правой частью специального вида
Общее решение неоднородного дифференциального уравнения
Разностные (рекуррентные) уравнения
Разностные операторы
Алгебраическое уравнение
Теперь рассмотрим решение конкретных примеров
Доказать сходимость ряда
Найти область сходимости ряда
Уравнения математической физики
Вычислить интеграл
Теория вероятностей и математическая статистика
Формула полной вероятности
Вычисление пределов
Классификация точек разрыва
Найти производную функции
Производная по направлению и градиент
Исследование функций
Наибольшее и наименьшее значение функции
Провести полное исследование и построить график функции
Понятие об условном экстремуме функции двух переменных
Интегрирование по частям

Частным приращением функции  по аргументу x называется приращение этой функции по x при постоянном y, . Аналогично, частным приращением функции  по аргументу y называется приращение этой функции по y при постоянном x, .

Частной производной функции  по аргументу x называется предел отношения частного приращения этой функции по x к приращению , когда последнее стремится к нулю. Обозначается  или . Таким образом .

Аналогично, частной производной функции  по аргументу y называется предел отношения частного приращения этой функции по y к приращению , когда последнее стремится к нулю. Обозначается  или ; .

Частная производная функции нескольких переменных по одному из аргументов определяется как производная этой функции по соответствующему аргументу при условии, что остальные переменные считаются постоянными.

Пример 1. Найти частные производные функции

Решение. При нахождении частной производной по x будем рассматривать y как величину постоянную. Тогда получим

.

Аналогично, рассматривая x как величину постоянную, найдем частную производную по y

.

Пример 2. Найти частные производные функции

Решение. При нахождении частной производной по x будем рассматривать y как величину постоянную. Тогда получим

.

Аналогично, рассматривая x как величину постоянную, найдем частную производную по y

.

Пример 3. Найти частные производные функции

Решение. Функция трех переменных. При нахождении частной производной по x будем рассматривать y и z как величины постоянные. Тогда получим

.

Аналогично, рассматривая x и z как постоянные величины, найдем частную производную по y:

.

Принимая x и y как постоянные величины, найдем частную производную по z:

.

Задание

Найти частные производные следующих функций.

1. .

2. .

3. .

4. .

5. .

6. .

7. .

8. .

9. .

10. .

11. .

12. .

Ответы:

1) , .

2) , .

3) , .

4) , .

5) , .

6) , .

7) , .

8) , .

9) , .

10) , , .

11) , , .

12) , , .

Контрольные вопросы

Что называется функцией двух переменных?

Что является областью определения функции двух переменных?

Что является графиком функции двух переменных?

Что называется частными приращениями функции  по переменным x и y?

Что называется частными производными функции  по переменным x и y?

Определители 2-го и 3-го порядка Таблица, составленная из четырех элементов, выстроенных в два ряда и два столбца: , называется квадратной матрицей второго порядка.

Пример. Вычислить координаты вектора , если известны декартовы координаты:   и .

Задача Найти , если  и , где , , угол . Решение: Для решения необходимо знать длину векторов, что нам неизвестно, но даны данные по базису, поэтому перейдем от исходных векторов к базисным, подставим в формулу  выражения разложения векторов по базису:

Дифференциальные уравнения