Контрольная по математике. Примеры решения задач

Лекции
Физика

Контрольная

На главную
Электротехника

Частным приращением функции  по аргументу x называется приращение этой функции по x при постоянном y, . Аналогично, частным приращением функции  по аргументу y называется приращение этой функции по y при постоянном x, .

Частной производной функции  по аргументу x называется предел отношения частного приращения этой функции по x к приращению , когда последнее стремится к нулю. Обозначается  или . Таким образом .

Аналогично, частной производной функции  по аргументу y называется предел отношения частного приращения этой функции по y к приращению , когда последнее стремится к нулю. Обозначается  или ; .

Частная производная функции нескольких переменных по одному из аргументов определяется как производная этой функции по соответствующему аргументу при условии, что остальные переменные считаются постоянными.

Пример 1. Найти частные производные функции

Решение. При нахождении частной производной по x будем рассматривать y как величину постоянную. Тогда получим

.

Аналогично, рассматривая x как величину постоянную, найдем частную производную по y

.

Пример 2. Найти частные производные функции

Решение. При нахождении частной производной по x будем рассматривать y как величину постоянную. Тогда получим

.

Аналогично, рассматривая x как величину постоянную, найдем частную производную по y

.

Пример 3. Найти частные производные функции

Решение. Функция трех переменных. При нахождении частной производной по x будем рассматривать y и z как величины постоянные. Тогда получим

.

Аналогично, рассматривая x и z как постоянные величины, найдем частную производную по y:

.

Принимая x и y как постоянные величины, найдем частную производную по z:

.

Задание

Найти частные производные следующих функций.

1. .

2. .

3. .

4. .

5. .

6. .

7. .

8. .

9. .

10. .

11. .

12. .

Ответы:

1) , .

2) , .

3) , .

4) , .

5) , .

6) , .

7) , .

8) , .

9) , .

10) , , .

11) , , .

12) , , .

Контрольные вопросы

Что называется функцией двух переменных?

Что является областью определения функции двух переменных?

Что является графиком функции двух переменных?

Что называется частными приращениями функции  по переменным x и y?

Что называется частными производными функции  по переменным x и y?

Определители 2-го и 3-го порядка Таблица, составленная из четырех элементов, выстроенных в два ряда и два столбца: , называется квадратной матрицей второго порядка.

Пример. Вычислить координаты вектора , если известны декартовы координаты:   и .

Задача Найти , если  и , где , , угол . Решение: Для решения необходимо знать длину векторов, что нам неизвестно, но даны данные по базису, поэтому перейдем от исходных векторов к базисным, подставим в формулу  выражения разложения векторов по базису:

Ядерные реакторы

Сети