Контрольная по математике. Примеры решения задач

При решении дифференциальных уравнений бывает возможно выбирать метод решения, исходя из сложности преобразований.

 Пример. Решить уравнение с начальным условием у(0) = 0.

Это линейное неоднородное уравнение. Решим соответствующее ему однородное уравнение.

 Для линейного неоднородного уравнения общее решение будет иметь вид:

Для определения функции С(х) найдем производную функции у и подставим ее в исходное дифференциальное уравнение.

 Итого  

Проверим полученное общее решение подстановкой в исходное дифференциальное уравнение.

 (верно)

Найдем частное решение при у(0) = 0.

Окончательно

 Пример. Найти решение дифференциального уравнения

с начальным условием у(1) = 1.

 Это уравнение может быть преобразовано и представлено как уравнение с разделенными переменными.

 

 

 

С учетом начального условия:

Окончательно 

 Пример. Решить дифференциальное уравнение  с начальным условием у(1) = 0.

Это линейное неоднородное уравнение.

Решим соответствующее ему однородное уравнение.

Решение неоднородного уравнения будет иметь вид:

Подставим в исходное уравнение:

Общее решение будет иметь вид: 

C учетом начального условия у(1) = 0: 

Частное решение: 

Пример. Найти решение дифференциального уравнения  с начальным условием у(1) = е.

Это уравнение может быть приведено к виду уравнения с разделяющимися переменными с помощью замены переменных.

Обозначим:

Уравнение принимает вид:

Получили уравнение с разделяющимися переменными.

Сделаем обратную замену:

Общее решение:

C учетом начального условия у(1) = е: 

Частное решение:

 Второй способ решения.

 Получили линейное неоднородное дифференциальное уравнение. Соответствующее однородное:

 Решение исходного уравнения ищем в виде:

Тогда

Подставим полученные результаты в исходное уравнение:

 Получаем общее решение:

Оценка погрешности и точность вычислений Оценить остаточный член метода Рунге-Кутта очень сложно, следует только отметить, что если  непрерывна и ограничена со своими производными до четвертого порядка и эти производные не очень велики, то с уменьшением шага сетки приближенное решение сходится к точному равномерно и остаточный член примерно равен .

Методом Эйлера найти три значения функции y, определяемой уравнением , при начальном условии , полагая  .

Пример. Найти приближенные значения решения уравнения , удовлетворяющего начальному условию  при . Значения решения определить при х = 0,1; 0,2; 0,3; 0,4.

Дифференциальные уравнения