Контрольная по математике. Примеры решения задач

Уравнение Бернулли.

 Для решения уравнения Бернулли применяют подстановку , с помощью которой, уравнение Бернулли приводится к линейному.

 Для этого разделим исходное уравнение на yn.

 

Применим подстановку, учтя, что .

Т.е. получилось линейное уравнение относительно неизвестной функции z.

Решение этого уравнения будем искать в виде:

 Пример. Решить уравнение

Разделим уравнение на xy2: 

Полагаем

.

Полагаем

Произведя обратную подстановку, получаем:

 Пример. Решить уравнение

Разделим обе части уравнения на

Полагаем

Получили линейное неоднородное дифференциальное уравнение. Рассмотрим соответствующее ему линейное однородное уравнение:

Полагаем C = C(x) и подставляем полученный результат в линейное неоднородное уравнение, с учетом того, что:

Получаем:

Применяя обратную подстановку, получаем окончательный ответ:

Уравнения эллиптического типа

Потенциальное течение жидкости или газа. Уравнение неразрывности

Потенциал стационарного электрического тока Пусть в однородной среде, заполняющей некоторый объем V, проходит электрический ток, плотность которого в каждой точке дается вектором . Предположим, что плотность тока не зависит от времени t. Предположим далее, что в рассматриваемом объеме нет источников тока.

Дифференциальные уравнения