Контрольная по математике. Примеры решения задач

Контрольная по математике
Построение графика функции
Найти частные производные функции
Сложная функция
Дифференциальные уравнения
Написать первые три члена ряда
Повторные независимые испытания
Элементы линейного программирования
Дифференциальные уравнения первого порядка
Найти общее решение дифференциального уравнения
Однородные уравнения
Уравнения, приводящиеся к однородным
Линейные уравнения
Метод Лагранжа
Для решения уравнения Бернулли
Уравнения в полных дифференциалах
Уравнения вида y = f(y’) и x = f(y’).
При решении дифференциальных уравнений
Решить дифференциальное уравнение
Дифференциальные уравнения
Уравнения, допускающие понижение порядка
Уравнения, не содержащие явно независимой переменной
Линейные дифференциальные уравнения высших порядков
Уравнения с правой частью специального вида
Общее решение неоднородного дифференциального уравнения
Разностные (рекуррентные) уравнения
Разностные операторы
Алгебраическое уравнение
Теперь рассмотрим решение конкретных примеров
Доказать сходимость ряда
Найти область сходимости ряда
Уравнения математической физики
Вычислить интеграл
Теория вероятностей и математическая статистика
Формула полной вероятности
Вычисление пределов
Классификация точек разрыва
Найти производную функции
Производная по направлению и градиент
Исследование функций
Наибольшее и наименьшее значение функции
Провести полное исследование и построить график функции
Понятие об условном экстремуме функции двух переменных
Интегрирование по частям

Практическое занятие № 1

Тема: Функция . Нахождение области определения, построение графика функции. Нахождение частных производных функций нескольких переменных.

Цель занятия. Научить студентов находить значения функции двух переменных, строить области определения и графики функции двух переменных, находить частные производные функций двух и трех переменных.

Порядок проведения:

ответить на контрольные вопросы;

разобрать предложенные примеры;

выполнить самостоятельно задания.

Студент должен:

знать: определения функции двух и большего числа переменных, понятие области определения функции нескольких переменных, графика функции двух переменных, определения частных приращений и частных производных;

уметь: находить значения функции по заданным значениям аргументов, определять область определения функции двух переменных, находить частные производные функций двух и трех переменных.

Указание 1

Пусть D – некоторое множество точек плоскости XOY. Правило, по которому каждой паре чисел  ставится в соответствие число z, называется функцией двух переменных. Множество D называется областью определения функции.

Функция двух переменных обозначается .

Аналогично определяется функция трех, четырех и большего числа переменных.

Мы будем рассматривать функции, области определения которых представляют собой конечную или бесконечную часть плоскости, ограниченную одной или несколькими непрерывными линиями, называемыми границами области.

Область называется замкнутой, если к ней относятся не только внутренние точки, но и точки границы; в противном случае она называется открытой.

График функции  изображается поверхностью в пространстве.

Аргументы x и y принимаются соответственно за абсциссу и ординату, а значение функции z – за аппликату.

Пример 1. Найти значение функции  в точке .

Решение. Подставляя в выражение функции значения  и , получим

Пример 2. Найти область определения функции

Решение. Так как логарифм определен только при положительных значениях аргумента, то , откуда .

Граница области определения  - окружность с центром в начале координат и радиусом 3, которая области определения не принадлежит. Таким образом, областью определения данной функции служит внутренняя часть круга (рис. 1).

Рис. 1

Пример 3. Построить график функции .

Решение. Область определения – вся координатная плоскость. Графиком функции  является поверхность, пересечением которой с координатной плоскостью XOZ  будет парабола , а с плоскостью YOZ  - парабола  (рис. 2).

Рис. 2

Задание

Вычислить значения функций:

1. , при , .

2.  в точке .

3. , при , .

Найти область определения функций:

4. .

5. .

6. .

7. .

8. Построить график функции

Ответы

 1) ; 2) 6; 3) ; 4) вся плоскость XOY, исключая точку ; 5) круг  вместе со своей границей;

6) часть плоскости XOY, лежащая выше прямой ;

7) внешняя часть круга  за исключением его границы.

8) верхняя полусфера радиуса 2.

В данном разделе рассматриваются такие геометрические объекты, как линии, поверхности и т.п. Исследование этих объектов заменяется исследованием их координат, представленных в виде уравнений. В начале раздела приводятся необходимые сведения из векторной алгебры.

Базис и разложение векторов

Скалярное произведение векторов Углом между двумя векторами называется часть плоскости между их лучами, если вектора приложить к одной точке

Дифференциальные уравнения