Контрольная по математике. Примеры решения задач

Практическое занятие № 1

Тема: Функция . Нахождение области определения, построение графика функции. Нахождение частных производных функций нескольких переменных.

Цель занятия. Научить студентов находить значения функции двух переменных, строить области определения и графики функции двух переменных, находить частные производные функций двух и трех переменных.

Порядок проведения:

ответить на контрольные вопросы;

разобрать предложенные примеры;

выполнить самостоятельно задания.

Студент должен:

знать: определения функции двух и большего числа переменных, понятие области определения функции нескольких переменных, графика функции двух переменных, определения частных приращений и частных производных;

уметь: находить значения функции по заданным значениям аргументов, определять область определения функции двух переменных, находить частные производные функций двух и трех переменных.

Указание 1

Пусть D – некоторое множество точек плоскости XOY. Правило, по которому каждой паре чисел  ставится в соответствие число z, называется функцией двух переменных. Множество D называется областью определения функции.

Функция двух переменных обозначается .

Аналогично определяется функция трех, четырех и большего числа переменных.

Мы будем рассматривать функции, области определения которых представляют собой конечную или бесконечную часть плоскости, ограниченную одной или несколькими непрерывными линиями, называемыми границами области.

Область называется замкнутой, если к ней относятся не только внутренние точки, но и точки границы; в противном случае она называется открытой.

График функции  изображается поверхностью в пространстве.

Аргументы x и y принимаются соответственно за абсциссу и ординату, а значение функции z – за аппликату.

Пример 1. Найти значение функции  в точке .

Решение. Подставляя в выражение функции значения  и , получим

Пример 2. Найти область определения функции

Решение. Так как логарифм определен только при положительных значениях аргумента, то , откуда .

Граница области определения  - окружность с центром в начале координат и радиусом 3, которая области определения не принадлежит. Таким образом, областью определения данной функции служит внутренняя часть круга (рис. 1).

Рис. 1

Пример 3. Построить график функции .

Решение. Область определения – вся координатная плоскость. Графиком функции  является поверхность, пересечением которой с координатной плоскостью XOZ  будет парабола , а с плоскостью YOZ  - парабола  (рис. 2).

Рис. 2

Задание

Вычислить значения функций:

1. , при , .

2.  в точке .

3. , при , .

Найти область определения функций:

4. .

5. .

6. .

7. .

8. Построить график функции

Ответы

 1) ; 2) 6; 3) ; 4) вся плоскость XOY, исключая точку ; 5) круг  вместе со своей границей;

6) часть плоскости XOY, лежащая выше прямой ;

7) внешняя часть круга  за исключением его границы.

8) верхняя полусфера радиуса 2.

В данном разделе рассматриваются такие геометрические объекты, как линии, поверхности и т.п. Исследование этих объектов заменяется исследованием их координат, представленных в виде уравнений. В начале раздела приводятся необходимые сведения из векторной алгебры.

Базис и разложение векторов

Скалярное произведение векторов Углом между двумя векторами называется часть плоскости между их лучами, если вектора приложить к одной точке

Дифференциальные уравнения