Контрольная по математике. Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения высших порядков. Уравнения, допускающие понижение порядка. Понижение порядка дифференциального уравнения – основной метод решения уравнений высших порядков. Этот метод дает возможность сравнительно легко находить решение, однако, он применим далеко не ко всем уравнениям. Рассмотрим случаи, когда возможно понижение порядка.

Уравнения, не содержащие явно независимой переменной

Линейные дифференциальные уравнения высших порядков. Линейные однородные дифференциальные уравнения с произвольными коэффициентами.

Рассмотрим уравнение вида

Уравнения с правой частью специального вида. Представляется возможным представить вид частного решения в зависимости от вида правой части неоднородного уравнения.

Общее решение неоднородного дифференциального уравнения

Разностные (рекуррентные) уравнения

Разностные операторы

Алгебраическое уравнение «n» порядка относительно переменной q

Теперь рассмотрим решение конкретных примеров Пример. Найдём общее решение

Решение типового варианта Пример. Доказать сходимость ряда  и найти его cумму.

Пример. Найти область сходимости ряда Решение. Воспользуемся признаком Д’Аламбера:

Контрольная работа № 11 Уравнения математической физики. Теория функций комплексного переменного. Элементы операционного исчисления

Пример. Вычислить интеграл  где l: а) отрезок прямой от точки 0 до точки 1+2i; б) дуга параболы y=2x2 от точки 0 до точки 1+2i.

Контрольная работа № 12 Теория вероятностей и математическая статистика Классическое определение вероятности событий Пример. Пусть в урне имеется 12 белых и 7 черных шаров. Какова вероятность извлечь белый шар?

Формула полной вероятности. Формула Байеса Пример 6. Покупатель может приобрести нужный ему товар в двух магазинах. Вероятности обращения в каждый из магазинов зависят от их место­положения и соответственно равны 0,1 и 0,9. Вероятность того, что к при­ходу покупателя нужный ему товар не будет распродан, равна 0,8 для пер­вого магазина и 0,4 – для второго. Какова вероятность того, что покупатель приобретет нужный ему товар? Какова вероятность того, что он купил то­вар в первом магазине?

Вычисление пределов Основные теоретические положения. Вычисление пределов опирается на свойства бесконечно малых и бесконечно больших функций и основные теоремы об арифметических действиях с пределами. Используется также один из известных замечательных пределов:

Раскрытие неопределенностей вида . В этой ситуации основная цель преобразований – выделить в числителе и знаменателе множители вида (x-a) (именно они при вычислении предела при  "обеспечивают" наличие неопределенности). Пример. Вычислить .

Классификация точек разрыва При решении задач используются следующие определения.

Пример. Найти производную функции  в точке x=2. Решение. Функция представляет собой частное, поэтому применяем (3.4), а также формулу производной степенной функции (для  и для ):

Производная по направлению и градиент

Исследование функций

Наибольшее и наименьшее значение функции одного переменного на числовом отрезке

Провести полное исследование и построить график функции .

Понятие об условном экстремуме функции двух переменных

Интегрирование по частям. В ряде случаев помогает «формула интегрирования по частям».

Требования, предъявляемые к современным вычислительным сетям