Двойные интегралы при решении курсовой работы

Начертательная геометрия
и инженерная графика
Начертательная геометрия
Задание по инженерной графике
Геометрические характеристики
плоских сечений
Построение геометрических фигур
Контрольная работа по
инженерной графике
Практикум по черчению
Оформление чертежей
Построения черчежа
Позиционные задачи

Основы машиностроительного черчения

Черчение Практикум по решению задач
Построение касательной
История искусства
Архитектура и скульптура Западной Европы
Живопись Франции
Барбизонская школа
Эдуард Мане
Импрессионизм
Неоимпрессионизм
Постимпрессионизм
Живопись Германии
Живопись Англии
Галерея Тейт в Лондоне
Искусство России
Архитектура и скульптура
Живопись
Иван Айвазовский
Василий Поленов
Василий Суриков
Исаак Левитан

Государственная Третьяковская галерея

Сопромат
Сопротивление материалов
Задачи по сопротивлению материалов
Теоретическая механика
Лабораторные работы по
сопротивлению материалов
Контрольная работа по сопромату
Лекции по черчению,
начертательной геометрии
Вычерчивание контуров деталей
Аксонометрическая проекция
Тени цилиндра
Конические сечения
Математика решение задач
Вычисление объемов с помощью
тройных интегралов
Основы векторной алгебры
Аналитическая геометрия
Решение типового варианта контрольной работы
Курсовая по математике
Вычисления интегралов
Интегралы при решении задач
Физика
Лекции и конспекты
Физика примеры решения задач
Механика
Термодинамика
Молекулярная физика
Электростатика и постоянный ток
Электромагнетизм
Электромагнитная индукция
Теория электромагнитного поля
Геометрическая оптика
Радиоактивность. Элементы физики ядра
Электротехника
Схемы выпрямителей, фильтров
MATLAB приложение Simulink
Курсовая по ТОЭ
Примеры выполнения заданий
Курс лекций по ТОЭ и типовые задания
Линейные электрические цепи
Резонанс в электрических цепях
Несинусоидальные токи
Расчет переходных процессов
Теория нелинейных цепей
Переходные процессы в нелинейных цепях
Лабораторные работы и расчеты по ТОЭ
Исследование переходных процессов
Моделирование электрических цепей
Задание на курсовую работу
Расчет переходного процесса в цепях
первого порядка
Использование программы Mathcad
Исследование  трёхфазных цепей
Исследование сложной электрической цепи постоянного тока
Исследование  трёхфазных цепей при соединении сопротивлений нагрузки
в треугольник
Информатика
Школьный учебник по информатике
Графический пакет AutoCAD
Adobe Illustrator
Инструменты
Векторные фильтры
Цветовые фильтры
Работа с текстом и шрифтом
Информационная графика
Учебник по Microsoft Internet Explorer
Основы безопасной работы с ресурсами сети
Microsoft Outlook
Компьютерные сети
Вычислительные сети
Основные проблемы построения сетей
Понятие «открытая система» и проблемы стандартизации
Локальные и глобальные сети
Сети отделов, кампусов и корпораций
Требования, предъявляемые к современным вычислительным сетям
Основы передачи дискретных данных
Методы передачи дискретных данных на физическом уровне
Методы передачи данных канального уровня
Методы коммутации
Базовые технологии локальных сетей
Протокол LLC уровня управления логическим каналом (802.2)
Технология Ethernet (802.3)
Технология Token Ring (802.5)
Технология FDDI
Fast Ethernet и 100VG - AnyLAN как развитие технологии Ethernet
Высокоскоростная технология Gigabit Ethernet
Построение локальных сетей по стандартам физического и канального уровней
Концентраторы и сетевые адаптеры
Логическая структуризация сети с помощью мостов и коммутаторов
Техническая реализация и дополнительные функции коммутаторов
Сетевой уровень как средство построения больших сетей
Адресация в IP-сетях
Протокол IP
Протоколы маршрутизации в IP-сетях
Средства построения составных сетей стека Novell
Маршрутизаторы
Глобальные сети
Глобальные связи на основе выделенных линий
Глобальные связи на основе сетей с коммутацией каналов
Компьютерные глобальные сети с коммутацией пакетов
Удаленный доступ
Средства анализа и управления сетями
Мониторинг и анализ локальных сетей
Ядерная индустрия
История ядерной индустрии
Урановый проект
Попытка создать атомное оружие в Германии
США применила атомные бомбы
Атомная индустрия в Великобритании
Проектирование ядерного реактора Франция
Развитие ядерной индустрии в СССР
Урановый проект СССР в годы войны
Проектирование атомной подводной лодки
Первая в мире атомная электростанция
Атомный ледоход"Ленин"
Путешествие советской атомной подводной лодки на Северный полюс
Атомные двигатели для космоса
Курчатовский институт
Ядерные реакторы
Компоновка реакторного контура
Реактор ВВЭР
Реактор РБМК
Реакторная установка МКЭР -1500
Газоохлаждаемые реакторы
Атомные электростанции с натриевым теплоносителем
АЭС с реактором БН-350
Цепная ядерная реакция
Термоядерный синтез
Реакторы на быстрых нейтронах
Варианты  плавучего энергоблока и опреснительных установок
Радиационная и ядерная безопасность
Обеспечение защиты населения
 

Производная сложной функции "Двухслойная" сложная функция записывается в виде где u = g(x) - внутренняя функция, являющаяся, в свою очередь, аргументом для внешней функции f.

Определить производную функции .

Продифференцировать .

Вычислить интеграл .

Двойные интегралы в полярных координатах Одним из частных случаев замены переменных является переход из декартовой в полярную систему координат

Пример Вычислить двойной интеграл , преобразовав его в полярные координаты.

Найти интеграл , где область интегрирования R ограничена кардиоидой

Вычислить двойной интеграл посредством преобразования в полярные координаты. Область интегрирования R представляет собой круг .

Пусть область интегрирования R типа I (элементарная относительно оси Oy) ограничена графиками функций .

Двойные интегралы в произвольной области

Пример Вычислить интеграл . Область интегрирования R ограничена графиками функций .

Вычислить интеграл . Область интегрирования R ограничена прямыми . Интегрирование по частям Тройные и двойные интегралы при решении задач

Найти интеграл , где область R представляет собой сегмент окружности. Границы сегмента заданы уравнениями .

Найти интеграл , где R ограничена прямой и параболой .

Вычислить интеграл . Область интегрирования представляет собой треугольник с вершинами O (0,0), B (0,1) и C (1,1).

Двойные интегралы в прямоугольной области Пусть область интегрирования R представляет собой прямоугольник .

Пример Вычислить двойной интеграл , заданный в области .

Вычислить интеграл , заданный в области .

Геометрические приложения двойных интегралов

Пример Найти площадь области R, ограниченной гиперболами и вертикальными прямыми .

Найти объем тела в первом октанте, ограниченного плоскостями .

Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями .

Найти площадь лепестка розы, заданной уравнением .

Вычислить объем единичного шара

Вычислить площадь сферы радиуса a.

Геометрические приложения криволинейных интегралов Криволинейные интегралы имеют многочисленные приложения в математике, физике и прикладных расчетах. В частности, с их помощью вычисляются

Геометрические приложения поверхностных интегралов С помощью поверхностных интегралов вычисляются

Неопределенный интеграл и его свойства. Таблица интегралов.

Вычислить .

Вычислить .

Интегральный признак Коши

Определить, сходится или расходится ряд .

Определить, сходится или расходится ряд .

Интегрирование по частям Пусть u(x) и v(x) являются дифференцируемыми функциями. Дифференциал произведения функций u и v определяется формулой Проинтегрировав обе части этого выражения, получим или, переставляя члены,

Вычислить интеграл .

Вывести формулу редукции (понижения степени) для .

Интегрирование гиперболических функций

Вычислить .

Найти интеграл .

Вычислить интеграл .

ЗАДАНИЕ №15

Далее в контрольных работах любой специальности следует задача на интегрирование. Подробнее о неопределенных интегралах можно прочесть в [4] гл.10 и в[1] гл XII

Функция f(x) является первообразной для функции f(x) на промежутке x, если

 

Совокупность всех первообразных называется неопределённым интегралом от функции f(x)

где С – произвольная постоянная

Свойства неопределенного интеграла.

1. Если a – постоянная величина, то , т.е. постоянный множитель можно выносить за знак интеграла.

2. Интеграл от алгебраической суммы конечного числа функций равен такой же алгебраической сумме интегралов от слагаемых функций

.

3. , т.е. знак дифференциала d и знак интеграла взаимно уничтожаются в указанном порядке.

4. знаки d и взаимно погашаются и в таком порядке, лишь следует добавить произвольную константу.

Основная таблица интегралов.

Непосредственное интегрирование.

Пример 1. Найти .

В простейших примерах применяется метод непосредственного интегрирования, то есть используются свойства и таблицы интегралов. А именно, при помощи тождественных преобразований подынтегрального выражения исходный интеграл сводится к табличному интегралу или к сумме табличных интегралов.

Решение : Положим

a=3e

на основании свойств показательной функции и по таблице интегралов получаем:

Интегрирование по частям.

Пример 2. Найти интеграл:

Решение : Используем метод интегрирования по частям, основанный на следующем свойстве интегралов:

Очевидно, что применять эту формулу имеет смысл только в том случае, если интеграл в правой части проще, чем в левой, например:

Если подынтегральное выражение слева содержит сомножитель

arcsin x, arcos x, arctg x, ln x

то в качестве u(x) выбирают эти функции.

Если подынтегральная функция имеет вид

,

где- многочлен степени “n”.

Тогда в качестве u(x) берут P(x) и интегрируют по частям n раз. В нашем примере подынтегральное выражение имеет вид

,

Где  - многочлен первой степени х.

Итак, мы должны взять

При промежуточном интегрировании постоянную С опускаем.

Затем отыскиваем интеграл в правой части при

  и 

По интегрированию по частям получаем:

.

Замена переменной под знаком интеграла.

Пример 3. Найти: А) ;

 Б) .

Решение: Воспользуемся методом замены переменной. Если

Здесь мы заменили переменную х выражением через t, а dx на.

а) Найдем . Для этого обозначим  через t, тогда

Видим что выражение справа – это часть подынтегрального выражения, то есть

Это пример основан на выделении дифференциала новой переменной. Такой вариант метода замены переменной называют «подведением» под знак дифференциала, то есть при

подынтегральная функция является функцией промежуточной переменной умноженной на дифференциал этой переменной:

Иногда удобнее действовать иначе. В случае:

 б) имеем иррациональную подынтегральную функцию. Чтобы избавиться от этой иррациональности, воспользуемся основным тригонометрическим тождеством. Для того, чтобы перейти к тригонометрическому виду сделаем замену переменной. Положим

.

Стало быть

.

Тогда

.

Для того чтобы избавиться от степени тригонометрической функции, перейдем к двойному углу.

 Имеем

Перейдем обратно к переменной х

Интегрирование рациональной функции.

Пример 4. Найти: А) ,

 Б)

Решение: Как в примере А), так и в примере Б) подынтегральная функция является рациональной дробью, то есть дробью вида

,

где P и Q многочлены степени соответственно m и n.

А) Степени числителя и знаменателя совпадают и равны 3. В этом случае, поделив числитель на знаменатель как многочлен на многочлен, получим сумму многочлена и остатка деления – правильной рациональной дроби. Интегрирование многочленов не сложно, а правильная рациональная дробь раскладывается на сумму дробей стандартного вида – так называемых «простейших» дробей, то есть дробей вида

.

Интегралы от этих дробей известны. Итак, разделим числитель подынтегрального выражения на знаменатель как многочлен на многочлен.

 

 

Таким образом, в результате деления мы получим частное, равное 1 и остаток равный (-х + 4). Итак, неправильную дробь можно разложить следующим образом

 , то есть

в виде суммы многочлена нулевой степени и правильной дроби. Теперь правильную дробь надо разложить на простейшие. У нас знаменатель уже разложен на множители

Так бывает не всегда. Если это не так, его надо разложить на множители и в соответствии с ними разложить вашу правильную дробь на сумму простейших дробей методом неопределенных коэффициентов:

Приведя к общему знаменателю, получаем:

Два многочлена равны, если равны коэффициенты при соответствующих степенях неизвестного. Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях многочлена в левой части и многочлена в правой, получим:

Приравняв коэффициенты при

Решив совместно эти уравнения, получим

  А = 4, В = -4, С = -1

Итак , а 

Следовательно,

Заметим, что если- действительный корень знаменателя кратности k, то в разложении ему будут соответствовать k простейших дробей вида . В нашем примере многочлен, стоявший в знаменателе рациональной дроби, имеет один действительный корень  = 0 кратности единица – следовательно, в разложении рациональной дроби на сумму простейших этому корню соответствует одно слагаемое.

 Если знаменатель имеет комплексные корни, то только попарно сопряженные, так как коэффициенты знаменателя вещественны. Пусть знаменатель кратности  имеет комплексно сопряженные корни кратности . Тогда в разложении на простейшие дроби им будут соответствовать  простейших дробей вида

  ,

где

В нашем примере такие комплексные корни имел двучлен . Действительно, приравняв его к нулю, получим <0 – а это означает, что действительных корней нет,  комплексно сопряжённые корни кратности 1.

Б) Найдем . Не всегда следует стремиться сразу, определить правильность дроби и разлагать ее на простейшие. В этом задании рациональную дробь можно проинтегрировать без привлечения этого метода.

Подынтегральное выражение равно . Конечно, можно воспользоваться тем, что это неправильная рациональная дробь и проинтегрировать ее, разлагая на сумму многочлена и простейших дробей. Однако, если сделать замену переменой , получим:

В каждом примере на интегрирование результат можно проверить. Достаточно продифференцировать ответ. Если интегрирование было верно, то получится подынтегральное выражение.

Мы получили подынтегральную функцию.

Пример 5. Найти интегралы: А)

 Б)

 В)

Решение: В данном примере найти требуется интегралы от тригонометрических функций. Интегралы вида

,

где R – рациональная функция от и сводятся к интегралу от рациональной функции относительно новой переменной интегрирования с помощью универсальной тригонометрической подстановки , тогда    

В случае А) универсальная тригонометрическая подстановка дает

Но часто универсальная подстановка приводит к громоздким выкладкам, поэтому, где удается, применяют другие подстановки

Случай Б) как раз относится к третьему типу, а именно подынтегральная функция четна как относительно , так и относительно . Положив  получим  и  и заменив  по известной тригонометрической формуле

Случай В) относится к первому типу, а именно подынтегральная функция нечетна относительно синуса. Положив  и заменив  на , получим

Задачи на эту тему можно найти в [3] гл.9

Решите самостоятельно следующие задачи.

15.1.

15.2.

15.3.

15.4.

15.5.