Двойные интегралы при решении курсовой работы Замена переменной в определенном интеграле Производная сложной функции Двойные интегралы в полярных координатах Интегрирование по частям Несобственные интегралы

Кратные интегралы при решении задач контрольной работы

Интегрирование по частям

Пример Вычислить интеграл .

Решение. Пусть . Тогда , так что интеграл переписывается в виде Чтобы вычислить новый интеграл, сделаем замену . В этом случае . В результате последний интеграл становится равным Отсюда находим искомый интеграл:

Пример Вычислить интеграл . Численное интегрирование функций Хорошо известны многочисленные примеры задач из различных отраслей механики, геометрии, физики, и т.д., которые приводят к необходимости вычисления определенных интегралов функции одной переменной на некотором отрезке.

Решение. Используем интегрирование по частям: . Полагаем . Тогда и интеграл записывается в виде Применим формулу интегрирования по частям еще раз. Пусть теперь . Следовательно, . Для первоначального интеграла получаем следующее уравнение: Решая это уравнение относительно неизвестного интеграла, находим

Пример

Свойство инвариантности формул интегрирования

Всякая формула интегрирования (см. таблицу) сохраняет свой вид при подстановке вместо независимой переменной любой дифференцируемой функции, то есть если где то где – любая дифференцируемая функция.

Так, например, если , то где – функция от

Пример 1. Решим задачу разложения вектора по базису:

Пусть даны вектора 

 Решение.: Покажем в начале, что векторы и образуют базис. Система векторов образует базис, если эти векторы линейно независимы, а соответствующее векторное уравнение

Обращается в тождество только при λ1=λ2=λ3=0.

 Используя координаты векторов , составим систему линейных уравнений, эквивалентную векторному уравнению

 

 Вычисляем определитель Δ данной системы

  =1(-1)-1(-2)=1.

 Так как Δ 0, то система имеет только нулевое решение (λ1,λ2,λ3) =(0,0,0). Это следует из того факта, что при bi =0 все определители при неизвестных в формулах Крамера равны нулю Δ1 = Δ2 =Δ3 = 0.

 Следовательно, векторы  образуют базис.

 Найдем координаты вектора  в базисе . Четыре вектора в трехмерном пространстве всегда линейно зависимы, т.е. вектор есть линейная комбинация векторов

.

 Аналогично предыдущему случаю составим систему уравнений для определения координат λ1,λ2,λ3 вектора  в базисе

 

Определитель системы совпадает с определителем системы и не равен нулю Δ=1 0. Следовательно, система имеет единственное решение. По формулам находим λ1,λ2 и λ3

λ1=Δ1/Δ=-2/1=-2,  λ2=Δ2/Δ=3/1=3, λ3=Δ3/Δ=-4/1=-4,

 Итак, разложение вектора  по базису  имеет вид:

  Если векторы  заданы в базисе , то в этом базисе вектор  имеет координаты (2;1;3).

 Студенту рекомендуется самостоятельно нарисовать векторы  в пространстве R3 и сравнить полученные значения λi cо значениями, полученными графически.

Геометрические приложения криволинейных интегралов