Двойные интегралы при решении курсовой работы Замена переменной в определенном интеграле Производная сложной функции Двойные интегралы в полярных координатах Интегрирование по частям Несобственные интегралы

Кратные интегралы при решении задач контрольной работы

Интегрирование по частям

Пусть u(x) и v(x) являются дифференцируемыми функциями. Дифференциал произведения функций u и v определяется формулой Проинтегрировав обе части этого выражения, получим или, переставляя члены,

Это и есть формула интегрирования по частям. Связь математической статистики с теорией вероятности

Пример Вычислить интеграл .

Решение. Используем формулу интегрирования по частям . Пусть . Тогда Следовательно,

Пример Проинтегрировать . Математика Задачи Комплексные числа

Решение. В соответствии с формулой интегрирования по частям полагаем u = ln x, dv = dx. Тогда . Получаем

  Пример.

 

.

  Теперь продифференцируем полученное выражение, умножим на  и сгруппируем коэффициенты при одинаковых степенях х.

=

=

 

Итого =

=

Решите самостоятельно задачи:

Привести к простейшему виду уравнение

Уравнение асимптот гиперболы и , а расстояние между фокусами . Найти уравнение гиперболы.

ЗАДАНИЕ №4

Для решения задачи № 4 следует иметь понятие о базисе.

Система  из n линейно независимых векторов в n-мерном пространстве называется базисом. Векторы  называются линейно независимыми, если равенство 

(линейная комбинация этих векторов равна 0) выполняется только при нулевых значениях коэффициентов – всех  при i=1,2…n.

Если это равенство имеет место при условии, что хотя бы один из коэффициентов   отличен от нуля, то система векторов называется линейно зависимой.

В n-мерном пространстве линейно независимая система векторов не может содержать более n векторов.

Пусть задана система из n линейных уравнений с n неизвестными

Матрица системы – набор из  чисел-коэффициентов системы, так как число строк матрицы равно числу столбцов матрица называется квадратной.

 

Её определитель (для случая, когда n=3):

-определитель разложен по первой строке. Как определяются определители высших порядков, можно узнать в указанных ниже учебниках или в следующем разделе.

Итак, если определитель системы , то система имеет единственное решение , которое можно найти по формулам Крамера

Где   определитель матрицы системы, а   определитель матрицы, полученной из матрицы системы А заменой i-го столбца на столбец свободных членов .

Геометрические приложения криволинейных интегралов