Двойные интегралы при решении курсовой работы Замена переменной в определенном интеграле Производная сложной функции Двойные интегралы в полярных координатах Интегрирование по частям Несобственные интегралы

Кратные интегралы при решении задач контрольной работы

Интегральный признак Коши

Пример Определить, сходится или расходится ряд .

Решение. Применяя интегральный признак, вычислим соответствующий несобственный интеграл: Интегрируем по частям: Получаем Предел в последнем выражении можно оценить по правилу Лопиталя:

Следовательно, несобственный интеграл конечен и равен 1. Поэтому, исходный ряд сходится. Численное интегрирование функций Хорошо известны многочисленные примеры задач из различных отраслей механики, геометрии, физики, и т.д., которые приводят к необходимости вычисления определенных интегралов функции одной переменной на некотором отрезке.

Найти предел .

;

.

 

  Если при решении примера после применения правила Лопиталя попытка вычислить предел опять приводит к неопределенности, то правило Лопиталя может быть применено второй раз, третий и т.д. пока не будет получен результат. Естественно, это возможно только в том случае, если вновь полученные функции в свою очередь удовлетворяют требованиям теоремы Лопиталя.

Замечание. При интегрировании методом подведения под знак дифференциала бывают полезны следующие равенства:

1. ; 2. ;

3. ; 4. ;

5. ; 6. ;

7. ; 8. ;

9. ; 10. ;

11. .

Пример

При интегрировании использовали формулы и положив

ЗАДАНИЕ №12

Следующая задача относится к вычислению производных.

Пусть функция y=f(x) определена в некоторой окрестности точки «x».

Производной функции y=f(x) в точке «x» называется предел отношения приращения функции  к соответствующему приращению аргумента , при стремлении  к нулю.

Производная функции f(x) в точке x существует, если f(x) непрерывна в точке x и

Для отыскания производных элементарных функций используется таблица производных основных элементарных функций и правила дифференцирования.

1.

10.

2.

11.

3.

12.

4.

13.

5.

14.

6.

15.

7.

16.

8.

17.

9.

18.

Основные правила дифференцирования:

Для дифференцируемых в точке x функций f(x) и g(x) справедливы равенства:

Производная сложной функции где - промежуточный аргумент. Если существуют  и , то

  или

Производная обратной функции. Если для функции y=f(x) существует обратная функция , которая имеет в точке y производную , то

  или

Дифференцирование неявной функции. Пусть уравнение

определяет y как неявную функцию от x, т.е. y=f(x) – неизвестная дифференцируемая функция и F(x,y) сложная функция. Дифференцируем по x обе части и получаем уравнение первой степени относительно , из которого легко находится - производная искомой функции.

Производная параметрически заданной функции x=x(t), y=y(t), - параметр. Если существуют производные и , то

Геометрические приложения криволинейных интегралов