Двойные интегралы при решении курсовой работы Замена переменной в определенном интеграле Производная сложной функции Двойные интегралы в полярных координатах Интегрирование по частям Несобственные интегралы

Кратные интегралы при решении задач контрольной работы

Интегральный признак Коши

Пример Определить, сходится или расходится ряд .

Решение. Вычислим соответствующий несобственный интеграл: Таким образом, данный ряд расходится. Связь математической статистики с теорией вероятности

Пример Исследовать ряд на сходимость.

Решение. Оценим несобственный интеграл Сделаем замену : . Тогда . Находим значение интеграла: Поскольку данный интеграл расходится, то ряд также расходится.

Пример Исследовать ряд на сходимость.

Решение. Заметим, что . Тогда по признаку сравнения получаем Используя интегральный признак, оценим сходимость ряда : Поскольку несобственный интеграл сходится, то исходный числовой ряд также сходится.

Найти длину окружности, заданной уравнением x2 + y2 = r2.

1 способ.  Выразим из уравнения переменную у. 

Найдем производную

Тогда

Тогда S = 2pr. Получили общеизвестную формулу длины окружности.

2 способ. Если представить заданное уравнение в полярной системе координат, то получим: r2cos2j + r2sin2j = r2, т.е. функция r = f(j) = r,  тогда

ЗАДАНИЕ №11

Следующая задача контрольной работы такого типа :

Задана функция . Установить, является ли данная функция непрерывной.

В случае разрыва функции в некоторой точке найти её пределы слева и справа, классифицировать характер разрыва. Построить схематично график функции.

Любая элементарная функция непрерывна во всех точках своей области определения.

Необходимое и достаточное условие непрерывности функции в точке 

 

Скачок  функции  в точке  

 

Пример 1. Пусть функция  имеет вид

Решение: Функция  определена для всех . Если , то ,

поэтому для всех  функция непрерывна . Если ,  непрерывна

для всех .Если,  для всех  также непрерывна .Поэтому точки разрыва

могут быть только для тех значений , в которых заданная функция  меняет свой

аналитический вид, а именно в точках и .

Исследуем непрерывность функции  в точке . Для этого найдём:

 предел слева

  ,

 предел справа

.

Так как пределы слева и справа конечны, равны между собой и равны значению

функции в точке , то получаем, что функция  непрерывна в точке .

Пусть . Находим аналогично

Предел слева

,

Предел справа

 

Так как пределы слева и справа конечны, но не равны между собой, то в точке

  функция имеет разрыв первого рода со скачком.

.

Строим график функции , выделяя области определения составляющих

функций стрелками, если они не определены в точке  или  .

Подробнее об этом можно прочесть в [4] гл.2 §9, 10, 11, [1] гл.8 и задачи такого типа можно найти в [3] гл.6§6.

Решите самостоятельно следующие задачи.

11.1 Исследуйте на непрерывность функцию

11.2 Какого рода разрыв имеет функция

  в точке x=0 ?

 

Геометрические приложения криволинейных интегралов