Геометрия
Практикум
Математика
Лекции
Графика
Сопромат
Алгебра
Физика

Контрольная

Задачи
Типовой
На главную
Черчение
Механика
Курсовая
Электротехника

Кратные интегралы при решении задач контрольной работы

Интегральный признак Коши

Пример Определить, сходится или расходится ряд .

Решение. Вычислим соответствующий несобственный интеграл: Таким образом, данный ряд расходится. Связь математической статистики с теорией вероятности

Пример Исследовать ряд на сходимость.

Решение. Оценим несобственный интеграл Сделаем замену : . Тогда . Находим значение интеграла: Поскольку данный интеграл расходится, то ряд также расходится.

Пример Исследовать ряд на сходимость.

Решение. Заметим, что . Тогда по признаку сравнения получаем Используя интегральный признак, оценим сходимость ряда : Поскольку несобственный интеграл сходится, то исходный числовой ряд также сходится.

Найти длину окружности, заданной уравнением x2 + y2 = r2.

1 способ.  Выразим из уравнения переменную у. 

Найдем производную

Тогда

Тогда S = 2pr. Получили общеизвестную формулу длины окружности.

2 способ. Если представить заданное уравнение в полярной системе координат, то получим: r2cos2j + r2sin2j = r2, т.е. функция r = f(j) = r,  тогда

ЗАДАНИЕ №11

Следующая задача контрольной работы такого типа :

Задана функция . Установить, является ли данная функция непрерывной.

В случае разрыва функции в некоторой точке найти её пределы слева и справа, классифицировать характер разрыва. Построить схематично график функции.

Любая элементарная функция непрерывна во всех точках своей области определения.

Необходимое и достаточное условие непрерывности функции в точке 

 

Скачок  функции  в точке  

 

Пример 1. Пусть функция  имеет вид

Решение: Функция  определена для всех . Если , то ,

поэтому для всех  функция непрерывна . Если ,  непрерывна

для всех .Если,  для всех  также непрерывна .Поэтому точки разрыва

могут быть только для тех значений , в которых заданная функция  меняет свой

аналитический вид, а именно в точках и .

Исследуем непрерывность функции  в точке . Для этого найдём:

 предел слева

  ,

 предел справа

.

Так как пределы слева и справа конечны, равны между собой и равны значению

функции в точке , то получаем, что функция  непрерывна в точке .

Пусть . Находим аналогично

Предел слева

,

Предел справа

 

Так как пределы слева и справа конечны, но не равны между собой, то в точке

  функция имеет разрыв первого рода со скачком.

.

Строим график функции , выделяя области определения составляющих

функций стрелками, если они не определены в точке  или  .

Подробнее об этом можно прочесть в [4] гл.2 §9, 10, 11, [1] гл.8 и задачи такого типа можно найти в [3] гл.6§6.

Решите самостоятельно следующие задачи.

11.1 Исследуйте на непрерывность функцию

11.2 Какого рода разрыв имеет функция

  в точке x=0 ?

 

Ядерные реакторы

AutoCAD
Электротехника
Сети
Искусство
Интегралы
Математика