Двойные интегралы при решении курсовой работы Замена переменной в определенном интеграле Производная сложной функции Двойные интегралы в полярных координатах Интегрирование по частям Несобственные интегралы

Кратные интегралы при решении задач контрольной работы

Неопределенный интеграл и его свойства. Таблица интегралов.

Определение первообразной и неопределенного интеграла Функция F(x) называется первообразной функции f(x), если Множество всех первообразных некоторой функции f(x) называется неопределенным интегралом функции f(x) и обозначается как Таким образом, если F - некоторая частная первообразная, то справедливо выражение где С - произвольная постоянная. Свойства неопределенного интеграла В приведенных ниже формулах f и g - функции переменной x, F - первообразная функции f, а, k, C - постоянные величины. Таблица интегралов В формулах ниже предполагается, что a, p (p ≠ 1), C - действительные постоянные, b - основание показательной функции (b ≠ 1, b > 0).

Пример Вычислить интеграл

Подынтегральная функция разлагается на сумму трех простейших дробей, множителю соответствует сумма двух дробей:

Найдем неопределенные коэффициенты

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x в левой и правой частях последнего равенства, получим систему уравнений:

Решая систему, получим

Вернемся к интегралу

=

Случай 3. Среди корней знаменателя правильной рациональной дроби имеются комплексные корни, то есть разложение знаменателя содержит множители вида

Пример 3. Решить уравнение

Известно, что корнем n-степени из числа z называется любое число , такое, что  и ω имеет n различных значений.

Решение: если число z представить в тригонометрической форме

то значения можно представить формулой

Поскольку все  одинаковы, а аргументы отличаются на 2П/n, то значения на комплексной плоскости располагаются в вершинах правильного n угольника. Величина  называется главным значением корня

 


Итак, корнями уравнения будут три единичных вектора, расположенных под углом в 120 градусов друг к другу.

Геометрические приложения криволинейных интегралов