Двойные интегралы при решении курсовой работы Замена переменной в определенном интеграле Производная сложной функции Двойные интегралы в полярных координатах Интегрирование по частям Несобственные интегралы

Кратные интегралы при решении задач контрольной работы

Несобственные интегралы

Пример Определить, при каких значениях k интеграл сходится.

Решение. Подынтегральное выражение имеет разрыв в точке x = 0, поэтому мы запишем интеграл в виде Как видно из полученного выражения, возможны 2 случая:

Пример Найти площадь под кривой y = ln x в интервале от x = 0 до x = 1.

Решение. Данная область схематически изображена на рисунке 1. Для нахождения площади этой бесконечной области нужно вычислить несобственный интеграл Интегрируем по частям. Пусть u = ln x, dv = dx. Тогда . Следовательно, Для вычисления полученного предела используем правило Лопиталя. Таким образом, несобственный интеграл равен Из рисунка видно, что площадь фигуры равна .
Рис.1Рис.2

Пример Вычислить интеграл

Подынтегральная функция разлагается на сумму двух простейших дробей

Заметим, что квадратный трехчлен имеет комплексные корни, а в числителе простейшей дроби, ему соответствующей, стоит многочлен первой степени с неопределенными коэффициентами.

Найдем

Решая систему, получим .

Тогда

Для вычисления второго интеграла выделим в знаменателе подынтегральной функции полный квадрат:

.

Имеем:

положим тогда

Окончательно .

Задачи для самостоятельного решения

Уравнение плоскости  Преобразовать к виду в отрезках на осях.

Найти уравнение плоскости, проходящей через точку Р (1,2,-1) перпендикулярно прямой

ЗАДАНИЕ №2

Для решения второй задачи потребуются следующие понятия и формулы:

Аналогично тому , как мы действовали в трехмерном случае( в пространстве) при решении первой задачи, рассмотрим на плоскости прямую. Чтобы задать прямую, нужно задать точку, через которую она проходит и вектор, задающий направление: и.

 

 M0 (x0, y0)

 M(x, y)

Возьмем текущую точку прямой и рассмотрим вектор .

Вектор   коллинеарен вектору и их координаты пропорциональны

 - это условие и задает уравнение прямой, проходящей через заданную точку в заданном направлении.

Перенесем все в левую часть и, обозначив числовые коэффициенты другими буквами, получим общее уравнение прямой

Взяв в качестве вектора  вектор, соединяющий две точки прямой  и ,получим уравнение прямой, проходящей через две заданные точки

.

Выразив и обозначив коэффициент при буквой , а остальные слагаемые буквой , получим уравнение с угловым коэффициентом

Условие параллельности двух прямых

Условие перпендикулярности двух прямых

Если есть отрезок , где  и  и точка делит его в заданном отношении , то есть

  , то

координаты точки

;  (формулы деления отрезка в заданном отношении)

Расстояние между точками  и  вычисляется по формуле, полностью аналогичной формуле расстояния в пространстве, только относительно двух переменных

 

Геометрические приложения криволинейных интегралов