Геометрия
Практикум
Математика
Лекции
Графика
Сопромат
Алгебра
Физика

Контрольная

Задачи
Типовой
На главную
Черчение
Механика
Курсовая
Электротехника

Кратные интегралы при решении задач контрольной работы

Несобственные интегралы

Пример Определить, при каких значениях k интеграл сходится.

Решение. Подынтегральное выражение имеет разрыв в точке x = 0, поэтому мы запишем интеграл в виде Как видно из полученного выражения, возможны 2 случая:

Пример Найти площадь под кривой y = ln x в интервале от x = 0 до x = 1.

Решение. Данная область схематически изображена на рисунке 1. Для нахождения площади этой бесконечной области нужно вычислить несобственный интеграл Интегрируем по частям. Пусть u = ln x, dv = dx. Тогда . Следовательно, Для вычисления полученного предела используем правило Лопиталя. Таким образом, несобственный интеграл равен Из рисунка видно, что площадь фигуры равна .
Рис.1Рис.2

Пример Вычислить интеграл

Подынтегральная функция разлагается на сумму двух простейших дробей

Заметим, что квадратный трехчлен имеет комплексные корни, а в числителе простейшей дроби, ему соответствующей, стоит многочлен первой степени с неопределенными коэффициентами.

Найдем

Решая систему, получим .

Тогда

Для вычисления второго интеграла выделим в знаменателе подынтегральной функции полный квадрат:

.

Имеем:

положим тогда

Окончательно .

Задачи для самостоятельного решения

Уравнение плоскости  Преобразовать к виду в отрезках на осях.

Найти уравнение плоскости, проходящей через точку Р (1,2,-1) перпендикулярно прямой

ЗАДАНИЕ №2

Для решения второй задачи потребуются следующие понятия и формулы:

Аналогично тому , как мы действовали в трехмерном случае( в пространстве) при решении первой задачи, рассмотрим на плоскости прямую. Чтобы задать прямую, нужно задать точку, через которую она проходит и вектор, задающий направление: и.

 

 M0 (x0, y0)

 M(x, y)

Возьмем текущую точку прямой и рассмотрим вектор .

Вектор   коллинеарен вектору и их координаты пропорциональны

 - это условие и задает уравнение прямой, проходящей через заданную точку в заданном направлении.

Перенесем все в левую часть и, обозначив числовые коэффициенты другими буквами, получим общее уравнение прямой

Взяв в качестве вектора  вектор, соединяющий две точки прямой  и ,получим уравнение прямой, проходящей через две заданные точки

.

Выразив и обозначив коэффициент при буквой , а остальные слагаемые буквой , получим уравнение с угловым коэффициентом

Условие параллельности двух прямых

Условие перпендикулярности двух прямых

Если есть отрезок , где  и  и точка делит его в заданном отношении , то есть

  , то

координаты точки

;  (формулы деления отрезка в заданном отношении)

Расстояние между точками  и  вычисляется по формуле, полностью аналогичной формуле расстояния в пространстве, только относительно двух переменных

 

Ядерные реакторы

AutoCAD
Электротехника
Сети
Искусство
Интегралы
Математика