Двойные интегралы при решении курсовой работы Замена переменной в определенном интеграле Производная сложной функции Двойные интегралы в полярных координатах Интегрирование по частям Несобственные интегралы

Кратные интегралы при решении задач контрольной работы

Несобственные интегралы

Пример Определить, сходится или расходится несобственный интеграл ?

Решение. Запишем очевидное неравенство для модулей: Легко показать, что интеграл сходится (смотрите также пример 1). Действительно, Следовательно, делаем вывод, что интеграл сходится по теореме сравнения 1. Тогда искомый интеграл также сходится (причем абсолютно) по теореме сравнения 3. Решение алгебраических и трансцендентных уравнений Постановка задачи и этапы решения.

Пример Определить, сходится или расходится несобственный интеграл ?

Решение. В данном интеграле подынтегральная функция имеет разрыв при x = 2. Поэтому, рассмотрим следующих два несобственных интеграла: По определению получаем Найдем первый интеграл.

Поскольку этот интеграл расходится, то искомый интеграл также расходится.

Вычислить двойной интеграл , если область интегрирования ограничена линиями ху=1, у = , х = 2.

 

1.     

 

2.

3.

Найдем площадь грани .

Площадь грани- это площадь треугольника и половина площади параллелограмма, построенного на векторах  и .

Но мы знаем из определения векторного произведения, что длина вектора = численно равна площади этого параллелограмма. Длину вектора  мы считали в пункте 1 и она равна .

Итак площадь грани =

3. Найдем объем пирамиды;

Объем пирамиды равен =

Если отбросить коэффициент , то получим =-объем призмы, в основании которой лежит , т.е. объем пирамиды равен  объема призмы.

А объем параллелепипеда, основанием которого является параллелограмм в 2 раза больше объема призмы следовательно, объём пирамиды - это объема параллелепипеда.

Но объем данного параллелепипеда численно равен модулю смешанного произведения векторов, на которых построен параллелепипед

4. Найдем уравнения прямой - это уравнения прямой, проходящей через заданную точку  в направлении , заданном вектором . Итак, пишем уравнение прямой, проходящей через точку А1 (1,2,3) в направлении вектора

5. Уравнение плоскости :

У нас имеется три точки, лежащие в интересующей нас плоскости, значит используем уравнение плоскости, проходящей через 3 точки:

  или

Раскладываем определитель по первой строке

6. Находим уравнения высоты, опущенной из вершины  на грань .

Раз эта прямая-высота – она перпендикулярна плоскости , значит в качестве направляющего вектора прямой можно взять вектор , перпендикулярный .

Высота опущена из вершины - значит искомая прямая проходит через точку .

Итак, пишем уравнения прямой, проходящей через заданную точку(3,4,8) в направлении заданного вектора (-6,2,6).

  или

Наконец, найдем координаты точки  пересечения высоты с нижней гранью.

То есть точку пересечения прямой  и плоскости

Перейдем к параметрическому виду уравнений прямой:

и подставим  и  в уравнение плоскости:

 

Итак, высота пирамиды пересекается с нижней гранью в точке .

Геометрические приложения криволинейных интегралов