Двойные интегралы при решении курсовой работы Замена переменной в определенном интеграле Производная сложной функции Двойные интегралы в полярных координатах Интегрирование по частям Несобственные интегралы

Кратные интегралы при решении задач контрольной работы

Несобственные интегралы

Пример Вычислить интеграл .

Решение. Подынтегральная функция терпит разрыв в точке x = 0. (Интересно, как долго можно терпеть такое?). Поэтому, представим данный интеграл как сумму следующих двух интегралов: По определению несобственного интеграла получаем Исследуем первый интеграл.

Поскольку он расходится, то весь интеграл также расходится. Вычислительная математика Элементы математической статистики Процесс познания окружающего нас мира включает наблюдение и эксперимент.

Пример Определить, сходится или расходится несобственный интеграл ?

Решение. Запишем интеграл в виде следующей суммы: Используя определение несобственного интеграла, получаем

Как видно, оба предела существуют и конечны. Следовательно, искомый интеграл сходится.

  Вообще говоря, для применения этого метода необходима только нечетность функции относительно косинуса, а степень синуса, входящего в функцию может быть любой, как целой, так и дробной.

 

Интеграл вида  если функция R является нечетной относительно sinx.

 

  По аналогии с рассмотренным выше случаем делается подстановка t = cosx.

Тогда

Рассмотрим в пространстве прямую. Её можно задать, задав фиксированную точку, через которую она проходит и задав её направление при помощи вектора.

Итак, напишем уравнение прямой, проходящей через заданную точку   и параллельной направляющему вектору . Опять возьмем текущую точку на прямой, т.е. точку, координаты которой меняются так, чтобы она не вышла за пределы этой прямой . Вектор лежит на прямой и, значит, коллинеарен вектору .

Если вектора коллинеарны, то их координаты пропорциональны.

  - это и есть канонические уравнения прямой в пространстве.

Обозначим отношение 

 за

Это параметрические уравнения прямой.

Более подробно этот материал можно найти в , главы 1 и 2; в  §1,2,5,6,9,10,12,13; в  главы 1,2,3 можно найти похожие задачи.

Пример 1. Задана пирамида с вершинами ,,,.

Зная координаты начала и конца вектора , мы можем найти его координаты:

 или

 Аналогично найдем 

 

1. Теперь найдем угол между ребром  и гранью .

Вообще говоря, найти угол между прямой и плоскостью, а угол  как раз и является углом между прямой  и плоскостью ,- это угол между прямой и её проекцией на плоскость- задача непростая. Угол найти проще, а ведь в сумме они составляют .

Значит, найдя , найдем и =-.

Итак, ищем : это угол между вектором-нормалью к плоскости и вектором .

Отыщем сначала . Какой вектор мы можем выбрать в качестве перпендикуляра к плоскости ? Векторное произведение любых двух векторов, лежащих в плоскости, перпендикулярно плоскости. Возьмем векторное произведение .

==

=

Нас интересует угол между =и .

Скалярное произведение

следовательно

Если , то

- угол между ребром пирамиды и гранью.

Геометрические приложения криволинейных интегралов